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Combinazioni semplici

Si consideri un insieme Studenti/matematica costituito da Studenti/matematica oggetti distinti e sia Studenti/matematica.

È possibile formare raggruppamenti di Studenti/matematica degli Studenti/matematica oggetti considerati che differiscono tra loro per l’ordinamento.

In dettaglio,

  • se Studenti/matematica è possibile formare gruppi ordinati di Studenti/matematica oggetti che prendono il nome di disposizioni;

  • se Studenti/matematica è possibile formare gruppi non ordinati di Studenti/matematica oggetti che prendono il nome di combinazioni;

  • se Studenti/matematica è possibile formare gruppi ordinati di Studenti/matematica oggetti che prendono il nome di permutazioni.

Le disposizioni, le combinazioni e le permutazioni possono essere semplici o con ripetizione.

Vediamo più in dettaglio cosa sono le combinazioni.

Sia Studenti/matematica un insieme costituito da Studenti/matematica oggetti distinti e sia Studenti/matematica.

Si dicono combinazioni semplici degli Studenti/matematica elementi presi a Studenti/matematica a Studenti/matematica (o di classe Studenti/matematica) tutti i gruppi di Studenti/matematica elementi, scelti fra gli Studenti/matematica elementi dell'insieme, in modo che ciascun gruppo differisca dai restanti almeno per uno degli elementi in esso contenuti (senza considerare, quindi, l'ordine degli elementi).

Si osservi che, mentre nelle disposizioni semplici si considerano distinti due raggruppamenti sia quando differiscono per almeno un elemento che per l'ordine con cui gli elementi si presentano, nelle combinazioni semplici, due raggruppamenti si considerano distinti solo quando differiscono almeno per un elemento.

Ciò implica che per determinare il numero delle combinazioni semplici (in cui non si deve tener conto dell'ordine degli elementi) è necessario partire dal numero delle disposizioni semplici e raggruppare in un'unica configurazione i sottoinsiemi che si distinguono solo per il diverso ordinamento, cioè per la permutazione dei loro elementi.

Alla luce di quanto appena osservato, la formula per determinare il numero Studenti/matematica delle combinazioni semplici di Studenti/matematica elementi di classe Studenti/matematica è

Studenti/matematica
1

espressione che, ricordando la formula per il calcolo delle disposizioni semplici e della permutazioni semplici, può essere riscritta nella seguente forma

Studenti/matematica
2

Esempio 1

Si risponda al seguente questito:

Nel Poker si distribuiscono, ad ogni giocatore, 5 carte estratte da un mazzo di 32. In quanti modi diversi si possono ricevere le carte?

Rispondere al questito equivale a contare le possibili "mani" di poker. Poiché l'ordine in cui si ricevono le carte non ha importanza, ogni "mano" corrisponde ad una possibile combinazione di 5 carte estratte da un insieme di 32.

Pertanto, utilizzando la (2) e considerando che Studenti/matematica e Studenti/matematica, si ha:

Studenti/matematica

Esempio 2

Si risponda al seguente questito:

In una classe di 26 alunni si devono eleggere 2 rappresentanti di classe. In quanti modi diversi si può fare questa scelta?

Si tratta di calcolare il numero di raggrupamenti possibili di 26 elementi a 2 a 2, senza tener conto dell'ordininamento.

Pertanto, utilizzando la (2) e considerando che Studenti/matematica e Studenti/matematica, si ha:

Studenti/matematica