Il numero delle combinazioni semplici è spesso indicato con il simbolo

che si legge e viene detto coefficiente binomiale perché se ne fa uso nello sviluppo della potenza di un binomio.

Per definizione, quindi, si ha

Il coefficiente binomiale gode di alcune proprietà che risulta utile ricordare.

1. Le combinazioni di elementi di lunghezza 0 o sono evidentemente una sola: rispettivamente l’insieme vuoto o l’intero insieme di elementi

   

2. Vi sono modi per scegliere un elemento tra o per tralasciarne uno

   

3. Le scelte di elementi sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi degli elementi tralasciati

   

4. Per calcolare il numero di combinazioni semplici di elementi di lunghezza , si sceglie uno degli elementi e si dividono le combinazioni in due classi: quelle che lo contengono e quelle che non lo contengono.

   

   da cui

   

Come anticipato, il coefficiente binomiale è utile nello sviluppo della potenza di un binomio.

Si considerino due numeri reali qualunque e . Sono già note le formule:

Il triangolo di Tartaglia

Analizzando il calcolo della generica potenza di un binomio è evidente che tutti gli sviluppi sono dei polinomi omogenei e completi, di grado uguale all’esponente della potenza.

Ordinando gli sviluppi secondo le potenze decrescenti di uno dei due monomi, si nota che i loro coefficienti sono numeri del seguente schema, chiamato Triangolo di Tartaglia

Si osservi che ogni riga inizia e termina con 1 e gli altri valori si ottengono come somma dei due elementi sovrastanti. Questo triangolo può essere riscritto con lo sviluppo della potenza secondo Newton che fa uso delle combinazioni:

Ebbene, qualunque siano i due numeri e e qualunque sia intero positivo, si ha

ossia lo sviluppo di è un polinomio omogeneo di grado che, ordinato secondo le potenze decrescenti di (e crescenti di e poi viceversa), ha per coefficienti i numeri:

Esempio

Si scriva lo sviluppo di secondo la formulazione di Newton.

Lo sviluppo della potenza di un binomio è espresso dalla (3).

È necessario, innanzitutto, determinare i coefficienti del polinomio. Ricordando l'espressione del coefficiente binomiale riportato nella (2) e le sue proprietà (1, 2, 3 e 4), si ha

Sostituendo nella (3) i coefficienti calcolati, si ha: