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Coefficienti binomiali

Il numero delle combinazioni semplici Studenti/matematica è spesso indicato con il simbolo

Studenti/matematica
1

che si legge Studenti/matematica e viene detto coefficiente binomiale perché se ne fa uso nello sviluppo della potenza di un binomio.

Per definizione, quindi, si ha

Studenti/matematica
2

Il coefficiente binomiale gode di alcune proprietà che risulta utile ricordare.

  1. Le combinazioni di Studenti/matematica elementi di lunghezza 0 o Studenti/matematica sono evidentemente una sola: rispettivamente l’insieme vuoto o l’intero insieme di Studenti/matematica elementi

    Studenti/matematica
  2. Vi sono Studenti/matematica modi per scegliere un elemento tra Studenti/matematica o per tralasciarne uno

    Studenti/matematica
  3. Le scelte di Studenti/matematica elementi sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi degli Studenti/matematica elementi tralasciati

    Studenti/matematica
  4. Per calcolare il numero di combinazioni semplici di Studenti/matematica elementi di lunghezza Studenti/matematica, si sceglie uno degli Studenti/matematica elementi e si dividono le combinazioni in due classi: quelle che lo contengono e quelle che non lo contengono.

    Studenti/matematica

    da cui

    Studenti/matematica

Come anticipato, il coefficiente binomiale è utile nello sviluppo della potenza di un binomio.

Si considerino due numeri reali qualunque Studenti/matematica e Studenti/matematica. Sono già note le formule:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Il triangolo di Tartaglia

Analizzando il calcolo della generica potenza di un binomio è evidente che tutti gli sviluppi sono dei polinomi omogenei e completi, di grado uguale all’esponente della potenza.

Ordinando gli sviluppi secondo le potenze decrescenti di uno dei due monomi, si nota che i loro coefficienti sono numeri del seguente schema, chiamato Triangolo di Tartaglia

Studenti/matematica

Si osservi che ogni riga inizia e termina con 1 e gli altri valori si ottengono come somma dei due elementi sovrastanti. Questo triangolo può essere riscritto con lo sviluppo della potenza secondo Newton che fa uso delle combinazioni:

Studenti/matematica

Ebbene, qualunque siano i due numeri Studenti/matematica e Studenti/matematica e qualunque sia Studenti/matematica intero positivo, si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica
3

ossia lo sviluppo diStudenti/matematica è un polinomio omogeneo di grado Studenti/matematica che, ordinato secondo le potenze decrescenti di Studenti/matematica (e crescenti di Studenti/matematica e poi viceversa), ha per coefficienti i numeri:

Studenti/matematica

Esempio

Si scriva lo sviluppo di Studenti/matematica secondo la formulazione di Newton.

Lo sviluppo della potenza Studenti/matematica di un binomio è espresso dalla (3).

È necessario, innanzitutto, determinare i coefficienti del polinomio. Ricordando l'espressione del coefficiente binomiale riportato nella (2) e le sue proprietà (1, 2, 3 e 4), si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Sostituendo nella (3) i coefficienti calcolati, si ha:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica