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Asintoti in generale

Ricordiamo che gli asintoti, incontrati ad esempio nello studio delle iperboli, sono quelle rette alle quali i punti della curva si avvicinano indefinitamente all’infinito. Diamo ora, alla luce delle conoscenze sui limiti, una definizione rigorosa di asintoto. Per la ricerca degli asintoti di una funzione si presentano vari casi.

Asintoti verticali

La retta Studenti/matematica é un asintoto verticale per la funzione Studenti/matematica se Studenti/matematica é un punto singolare in cui si ha:

Studenti/matematica

oppure

Studenti/matematica

Le figure illustrano esempi dei vari casi che si possono presentare per i valori dei limiti a sinistra e destra del punto singolare Studenti/matematica per il quale la funzione ha un asintoto orizzontale Studenti/matematica.

Studenti/matematica

Studenti/matematica

Studenti/matematica

Studenti/matematica

Studenti/matematica

Studenti/matematica

Studenti/matematica

Studenti/matematica

Se solo uno dei due limiti sinistro o destro é infinito allora Studenti/matematica é un asintoto verticale sinistro o un asintoto verticale destro.

Esempio di un asintoto verticale destro

Studenti/matematica

Asintoto verticale sinistro

Studenti/matematica

Le funzioni razionali, ridotte ai minimi termini, che hanno il denominatore che si annulla in un punto, hanno limite infinito in tale punto (asintoto verticale). Ciò può accadere anche per le funzioni trigonometriche e logaritmiche che hanno asintoti verticali (limiti infiniti) in particolari punti.

Esempio 1

La funzione trigonometrica Studenti/matematica ha asintoti verticali nei punti Studenti/matematica

Studenti/matematica

Esempio 2

La funzione Studenti/matematica ha un asintoto verticale nel punto Studenti/matematica, ossia l’asse delle Studenti/matematica.

Studenti/matematica

Esempio 3

Consideriamo la funzione

Studenti/matematica

che risulta definita per Studenti/matematica meno i punti in cui il denominatore si annulla. Risolvendo l’equazione

Studenti/matematica

troviamo i due punti in cui il denominatore si annulla, quindi punti per i quali la funzione non è definita, che sono Studenti/matematica ed Studenti/matematica. Vediamo cosa succede alla Studenti/matematica negli intorni di questi punti, calcolandone i limiti sinistro e destro. Poichè si verifica che

Studenti/matematica

possiamo dire che la retta Studenti/matematica è un asintoto verticale per la funzione. Analogamente, poiché

Studenti/matematica

anche la retta Studenti/matematica risulta essere un asintoto verticale per la funzione. Il grafico di Studenti/matematica ci conferma questi risultati:

Studenti/matematica

Asintoti orizzontali

Esempio 4

Calcolare l'eventuale asintoto orizzontale della funzione

Studenti/matematica

Essendo la funzione razionale fratta per le proprietà dei limiti abbiamo

Studenti/matematica

quindi, la funzione ha come asintoto orizzontale la retta Studenti/matematica. Vediamo il grafico

Studenti/matematica

Da quanto detto fin qui per gli asintoti orizzontali, e facendo riferimento alla figura

Studenti/matematica

si evince facilmente che si possono avere asintoti orizzontali solo se le funzioni sono definite in intervalli illimitati e si possono avere uno o al più due asintoti orizzontali. In particolare, osserviamo che si hanno due asintoti orizzontali se esistono i due limiti

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

con Studenti/matematica. Si hanno così due asintoti orizzontali che sono le rette

Studenti/matematica

Asintoti obliqui

Introduciamo il concetto di asintoto obliquo mettendo in evidenza quali sono le condizioni per cui una funzione può avere tale tipo di asintoto. Una funzione può avere un asintoto obliquo solo se è definita in un intervallo illimitato e quando non ammette asintoti orizzontali. Come capita per quelli orizzontali, si possono avere nessuno, uno o al massimo due asintoti obliqui.

Praticamente, la condizione da verificare per l’esistenza di un asintoto obliquo è

Studenti/matematica
1

in tal caso deve accadere che la funzione si avvicini alla retta di equazione:

Studenti/matematica
2

Dalla osservazione della figura

Studenti/matematica

esaminando la distanza tra il punto Studenti/matematica del grafico e la proiezione Studenti/matematica della retta, risulterà che la retta sarà un asintoto obliquo se Studenti/matematica tende a zero al tendere di Studenti/matematica.

Ora ricordando dalla geometria analitica della retta che:

Studenti/matematica

allora si ha che se la retta di equazione Studenti/matematica è un asintoto obliquo, deve essere

Studenti/matematica

ossia

Studenti/matematica
3

da cui, dividendo per Studenti/matematica si avrà:

Studenti/matematica

da cui possiamo dedurre che

Studenti/matematica

pertanto segue

Studenti/matematica
4

La (4) è la prima condizione per avere un asintoto obliquo, la seconda si ricava dalla (3) allorché si ottiene

Studenti/matematica
5

La (4) e la (5) sono pertanto le relazioni che cercavamo, con la condizione che entrambi i limiti (4) e (5) esistano e siano finiti e nella (4) sia anche Studenti/matematica.

Esempio 5

Calcolare l'eventuale asintoto obliquo della funzione

Studenti/matematica

Essendo la funzione razionale fratta, per le proprietà dei limiti abbiamo

Studenti/matematica

Quindi, poiché é verificata la (1) ci sono asintoti obliqui. Calcoliamo adesso il coefficiente angolare della retta asintoto obliquo usando la (4)

Studenti/matematica

Calcoliamo ora q:

Studenti/matematica

Concludendo, poiché i due limiti sono finiti e Studenti/matematica allora l'asintoto obliquo esiste ed è la retta di equazione Studenti/matematica.

Vediamo il grafico della funzione e del suo asintoto.

Studenti/matematica