Ricordiamo che gli asintoti, incontrati ad esempio nello studio delle iperboli, sono quelle rette alle quali i punti della curva si avvicinano indefinitamente all’infinito. Diamo ora, alla luce delle conoscenze sui limiti, una definizione rigorosa di asintoto. Per la ricerca degli asintoti di una funzione si presentano vari casi.
Asintoti verticali
La retta é un asintoto verticale per la funzione se é un punto singolare in cui si ha:
oppure
Le figure illustrano esempi dei vari casi che si possono presentare per i valori dei limiti a sinistra e destra del punto singolare per il quale la funzione ha un asintoto orizzontale .
Se solo uno dei due limiti sinistro o destro é infinito allora é un asintoto verticale sinistro o un asintoto verticale destro.
Esempio di un asintoto verticale destro
Asintoto verticale sinistro
Le funzioni razionali, ridotte ai minimi termini, che hanno il denominatore che si annulla in un punto, hanno limite infinito in tale punto (asintoto verticale). Ciò può accadere anche per le funzioni trigonometriche e logaritmiche che hanno asintoti verticali (limiti infiniti) in particolari punti.
Esempio 1
La funzione trigonometrica ha asintoti verticali nei punti
Esempio 2
La funzione ha un asintoto verticale nel punto , ossia l’asse delle .
Esempio 3
Consideriamo la funzione
che risulta definita per meno i punti in cui il denominatore si annulla. Risolvendo l’equazione
troviamo i due punti in cui il denominatore si annulla, quindi punti per i quali la funzione non è definita, che sono ed . Vediamo cosa succede alla negli intorni di questi punti, calcolandone i limiti sinistro e destro. Poichè si verifica che
possiamo dire che la retta è un asintoto verticale per la funzione. Analogamente, poiché
anche la retta risulta essere un asintoto verticale per la funzione. Il grafico di ci conferma questi risultati:
Asintoti orizzontali
Esempio 4
Calcolare l'eventuale asintoto orizzontale della funzione
Essendo la funzione razionale fratta per le proprietà dei limiti abbiamo
quindi, la funzione ha come asintoto orizzontale la retta . Vediamo il grafico
Da quanto detto fin qui per gli asintoti orizzontali, e facendo riferimento alla figura
si evince facilmente che si possono avere asintoti orizzontali solo se le funzioni sono definite in intervalli illimitati e si possono avere uno o al più due asintoti orizzontali. In particolare, osserviamo che si hanno due asintoti orizzontali se esistono i due limiti
e
con . Si hanno così due asintoti orizzontali che sono le rette
Asintoti obliqui
Introduciamo il concetto di asintoto obliquo mettendo in evidenza quali sono le condizioni per cui una funzione può avere tale tipo di asintoto. Una funzione può avere un asintoto obliquo solo se è definita in un intervallo illimitato e quando non ammette asintoti orizzontali. Come capita per quelli orizzontali, si possono avere nessuno, uno o al massimo due asintoti obliqui.
Praticamente, la condizione da verificare per l’esistenza di un asintoto obliquo è
in tal caso deve accadere che la funzione si avvicini alla retta di equazione:
Dalla osservazione della figura
esaminando la distanza tra il punto del grafico e la proiezione della retta, risulterà che la retta sarà un asintoto obliquo se tende a zero al tendere di .
Ora ricordando dalla geometria analitica della retta che:
allora si ha che se la retta di equazione è un asintoto obliquo, deve essere
ossia
da cui, dividendo per si avrà:
da cui possiamo dedurre che
pertanto segue
La (4) è la prima condizione per avere un asintoto obliquo, la seconda si ricava dalla (3) allorché si ottiene
La (4) e la (5) sono pertanto le relazioni che cercavamo, con la condizione che entrambi i limiti (4) e (5) esistano e siano finiti e nella (4) sia anche .
Esempio 5
Calcolare l'eventuale asintoto obliquo della funzione
Essendo la funzione razionale fratta, per le proprietà dei limiti abbiamo
Quindi, poiché é verificata la (1) ci sono asintoti obliqui. Calcoliamo adesso il coefficiente angolare della retta asintoto obliquo usando la (4)
Calcoliamo ora q:
Concludendo, poiché i due limiti sono finiti e allora l'asintoto obliquo esiste ed è la retta di equazione .
Vediamo il grafico della funzione e del suo asintoto.