Asintoti verticali

La retta é un asintoto verticale per la funzione se é un punto singolare in cui si ha:

oppure

Le figure illustrano esempi dei vari casi che si possono presentare per i valori dei limiti a sinistra e destra del punto singolare per il quale la funzione ha un asintoto orizzontale .

Se solo uno dei due limiti sinistro o destro é infinito allora é un asintoto verticale sinistro o un asintoto verticale destro.

Esempio di un asintoto verticale destro

Asintoto verticale sinistro

Le funzioni razionali, ridotte ai minimi termini, che hanno il denominatore che si annulla in un punto, hanno limite infinito in tale punto (asintoto verticale). Ciò può accadere anche per le funzioni trigonometriche e logaritmiche che hanno asintoti verticali (limiti infiniti) in particolari punti.

Esempio 1

La funzione trigonometrica ha asintoti verticali nei punti

Esempio 2

La funzione ha un asintoto verticale nel punto , ossia l’asse delle .

Esempio 3

Consideriamo la funzione

che risulta definita per meno i punti in cui il denominatore si annulla. Risolvendo l’equazione

troviamo i due punti in cui il denominatore si annulla, quindi punti per i quali la funzione non è definita, che sono ed . Vediamo cosa succede alla negli intorni di questi punti, calcolandone i limiti sinistro e destro. Poichè si verifica che

possiamo dire che la retta è un asintoto verticale per la funzione. Analogamente, poiché

anche la retta risulta essere un asintoto verticale per la funzione. Il grafico di ci conferma questi risultati:

Asintoti orizzontali

Esempio 4

Calcolare l'eventuale asintoto orizzontale della funzione

Essendo la funzione razionale fratta per le proprietà dei limiti abbiamo

quindi, la funzione ha come asintoto orizzontale la retta . Vediamo il grafico

Da quanto detto fin qui per gli asintoti orizzontali, e facendo riferimento alla figura

si evince facilmente che si possono avere asintoti orizzontali solo se le funzioni sono definite in intervalli illimitati e si possono avere uno o al più due asintoti orizzontali. In particolare, osserviamo che si hanno due asintoti orizzontali se esistono i due limiti

e

con . Si hanno così due asintoti orizzontali che sono le rette

Asintoti obliqui

Introduciamo il concetto di asintoto obliquo mettendo in evidenza quali sono le condizioni per cui una funzione può avere tale tipo di asintoto. Una funzione può avere un asintoto obliquo solo se è definita in un intervallo illimitato e quando non ammette asintoti orizzontali. Come capita per quelli orizzontali, si possono avere nessuno, uno o al massimo due asintoti obliqui.

Praticamente, la condizione da verificare per l’esistenza di un asintoto obliquo è

in tal caso deve accadere che la funzione si avvicini alla retta di equazione:

Dalla osservazione della figura

esaminando la distanza tra il punto del grafico e la proiezione della retta, risulterà che la retta sarà un asintoto obliquo se tende a zero al tendere di .

Ora ricordando dalla geometria analitica della retta che:

allora si ha che se la retta di equazione è un asintoto obliquo, deve essere

ossia

da cui, dividendo per si avrà:

da cui possiamo dedurre che

pertanto segue

La (4) è la prima condizione per avere un asintoto obliquo, la seconda si ricava dalla (3) allorché si ottiene

La (4) e la (5) sono pertanto le relazioni che cercavamo, con la condizione che entrambi i limiti (4) e (5) esistano e siano finiti e nella (4) sia anche .

Esempio 5

Calcolare l'eventuale asintoto obliquo della funzione

Essendo la funzione razionale fratta, per le proprietà dei limiti abbiamo

Quindi, poiché é verificata la (1) ci sono asintoti obliqui. Calcoliamo adesso il coefficiente angolare della retta asintoto obliquo usando la (4)

Calcoliamo ora q:

Concludendo, poiché i due limiti sono finiti e allora l'asintoto obliquo esiste ed è la retta di equazione .

Vediamo il grafico della funzione e del suo asintoto.