Le unità di misura di un angolo sono:

1. il grado, definito come dell'angolo giro;

2. il radiante, fa riferimento a una qualsiasi circonferenza ed è l’ampiezza dell'angolo al centro corrispondente ad un arco di lunghezza uguale al raggio della circonferenza.

Per le frazioni di grado, come per le frazioni di ora, si utilizzano il minuto primo che è di grado ed è indicato con ed il secondo che è del minuto primo ed è indicato con .

Da queste definizioni ricaviamo intuitivamente le seguenti regole

L’ampiezza di un angolo espressa in radianti si calcola secondo la seguente formula

La misura in radianti di un angolo è indipendente dalla circonferenza. Infatti, considerata un’altra circonferenza di raggio concentrica alla prima, come mostrato in figura

se è la misura dell'arco che l'angolo intercetta su di essa, risulta .

Per convertire la misura di un angolo da gradi a radianti e viceversa si utilizza la seguente proporzione

che si può scrivere come

o anche

dove e indicano la misura in gradi e in radianti dell’angolo , rispettivamente.

Da queste, si ricavano le seguenti formule di conversioni da radianti a gradi e da gradi a radianti:

Esempio 1

Determinare l’ampiezza in gradi di un angolo di 1 radiante.

Dalla prima delle (6) si ricava:

convertendo la parte decimale in minuti primi e secondi come nella (1) si ha

e quindi l’angolo di 1 radiante corrisponde a circa .

Esempio 2

Determinare l’ampiezza in radianti di un angolo di .

Dalla seconda delle (6) dalla (1) si ricava:

Ricordando la (5) e le (6), la lunghezza dell’arco di circonferenza di raggio sotteso da un angolo al centro di misura o è

Esempio 3

Determinare la lunghezza di un arco di circonferenza di raggio sotteso da un angolo al centro di radianti.

Dalla seconda delle (7) si ricava

Esempio 4

Determinare la lunghezza di un arco di circonferenza di raggio sotteso da un angolo al centro di .

Dalla prima delle (7) si ha

Fin qui abbiamo parlato dell’angolo e dell’arco corrispondente su una circonferenza di raggio . Adesso vediamo anche come si individuano a calcolano le porzioni di cerchio in relazione ad un angolo ed un raggio assegnati.

Un settore circolare è la porzione di un cerchio racchiusa da due raggi e da un arco di circonferenza, come mostrato in figura.

L’area di un settore circolare di una circonferenza di raggio , con angolo al centro di misura o è

Esempio 5

Calcolare l’area del settore circolare di una circonferenza di raggio , con angolo al centro di radianti.

Dalla (10) si ricava

Esempio 6

Calcolare l’area del settore circolare di una circonferenza di raggio , con angolo al centro di .

Dalla (9) si ha