La definizione classica di probabilità si basa sull’ipotesi che tutti i casi dell’evento siano equiprobabili. Ovviamente nella realtà non sempre si può avere tale condizione, per cui risulta utile introdurre il concetto di probabilità attraverso diverse definizioni.
La definizione frequentista
La definizione frequentista si basa sulla legge dei grandi numeri (o legge empirica del caso) secondo cui, in un gran numero di prove fatte tutte nelle medesime condizioni, la frequenza relativa dei successi tende al valore teorico della probabilità. Ciò fa pensare che in fenomeni in cui la probabilita classica non è applicabile è possibile considerare la frequenza di eventi già accaduti e considerarla come probabilità di eventi futuri.
Definizione
Si definisce probabilità frequentista di un evento il numero che esprime la frequenza relativa dell’evento in un gran numero di prove precedenti tutte fatte nelle stesse condizioni.
Risulta subito evidente il limite di questa definizione: non si precisa quanto grande debba essere il numero di prove e per di più è necessario ripetere le prove nelle medesime condizioni.
Esempio 1
In un’urna ci sono palline bianche e palline nere, ma non si sa quante sono. Estraendo una pallina, qual è la probabilità che sia nera?
Per rispondere è necessario dapprima fare molte prove, estraendo una pallina alla volta e rimettendola nell’urna.
Si supponga di aver fatto 85 prove e di aver estratto una pallina nera per 16 volte.
Per determinare la probabilità che la pallina sia nera, si calcola la frequenza relativa delle prove favorevoli, ottenendo così un valore approssimato della probabilità.
La frequenza relativa è 
0,188. Pertanto, la probabilità che la pallina estratta sia nera è circa del 18,8%.
La definizione soggettiva
Introduciamo subito la definizione
Definizione
Si definisce probabilità soggettiva di un evento la misura del grado di fiducia che un individuo coerente assegna al verificarsi di un dato evento in base alle sue conoscenze.
Nonostante sia d’aiuto nella risoluzione di problemi che non è possibile affrontare facendo ricorso alla probabilità classica o frequentista, la probabilità soggettiva presenta due grossi limiti:
-
l’individuo che elabora la probabilità deve essere “coerente”, cioè deve attribuire lo stesso valore di probabilità a fenomeni simili, cosa non sempre facile se il giudizio è viziato da passioni o da valutazioni personali;
-
chi elabora la probabilità deve essere in possesso del maggior numero di dati possibili: più informazioni si hanno a disposizione, meglio si può individuare il valore della probabilità.
Definizione assiomatica
La teoria assiomatica della probabilità muove dal concetto di 
. Non si tratta di una nuova definizione operativa e non fornisce indicazioni su come calcolare la probabilità ma risponde all’esigenza di individuare gli assiomi su cui basare la teoria della probabilità e da cui poi far discendere postulati e teoremi. È quindi una teoria comune a tutte le definizioni di probabilità finora descritte che vanno dall’approccio frequentista a quello soggettivista.
Sia 
lo spazio delle probabilità, ossia l'insieme di tutti i possibili eventi elementari e si indichi con 
una famiglia (detta 
) di sottoinsiemi di 
tale che:
-
è un elemento della famiglia 
; -
Se
e 
sono sottoinsiemi di 
e sono elementi della famiglia di eventi 
, allora anche gli eventi complementari 
e 
, l’evento intersezione 
e l’evento unione 
sono elementi di 
.Se
è un insieme finito, ad ogni evento 
è possibile associare un numero 
, detto probabilità dell’evento 
, tale che
-
la probabilità di un evento è sempre positiva:
; -
la probabilità di tutto lo spazio delle probabilità è sempre pari ad 1:
; -
se
e 
sono eventi incompatibili (cioè 
) allora
.
Dalla definizione assiomatica di probabilità discendono le seguenti proprietà:
-
la probabilità dell’evento impossibile è nulla
-
la probabilità di un evento è uguale ad 1 meno la probabilità dell’evento contrario
-
la probabilità di un evento è sempre compresa tra 0 e 1
-
se
è contenuto in 
allora la probabilità dell’evento 
è minore della probabilità dell’evento 
(è uguale se 
)
-
se
e 
sono due eventi incompatibili
-
se
e 
sono due eventi qualsiasi
(infatti se si sommasse
e 
si considererebbe due volte la probabilità della parte comune 
).
Esempio 2
Si calcoli la probabilità di estrarre da un mazzo di quaranta carte una carta di denari oppure una figura.
Si indichi con A l’evento “estrazione di una carta di denari” e con 
l’evento “estrazione di una figura”. Poichè in totale le carte di denari sono 10, si ha:
Poichè in totale le figure sono 12, si ha:
Poichè le carte che sono contemporareamente figure e denari sono 3, si ha:
Pertanto, per la proprietà 6), la probabilità di estrarre una carta di denari oppure una figura è:
