Semmetria centrale

La simmetria centrale può essere vista come un particolare tipo di rotazione, infatti è una rotazione di 180° rispetto al centro di rotazione, ossia i punti corrispondenti si trovano allineati su semirette opposte e alla stesse distanza rispetto al centro, quindi si dice che sono disposti simmetricamente, per cui la rotazione diventa la simmetria centrale ed il centro di rotazione diventa il centro di simmetria.

Diamo ora una definizione formale.

È utile riportare qui la seguente definizione

Definizione

Si definisce traslazione di un vettore la trasformazione che fa corrispondere ad ogni punto del piano un punto .

Pertanto, dati i punti e abbiamo:

da cui ricaviamo

Se é il centro di simmetria individuiamo le coordinate del punto e del simmetrico . Poiché, per definizione, il punto é il punto medio del segmento abbiamo:

da cui possiamo ricavare le equazioni della simmetria, ossia le coordinate del punto , come:

se dalla (1) ricaviamo, invece, le e otteniamo le equazioni della simmetria inversa, che fa corrispondere il punto al punto

Un caso particolare si ha quando il centro di simmetria è proprio l’origine degli assi. Se é il cento di simmetria le (2) diventano

e la simmetria inversa diventa

La figura seguente illustra un esempio di triangoli simmetrici rispetto al centro di simmetrica C

Simmetria assiale

Anche la simmetria assiale è un particolare tipo di rotazione di 180°, detta anche ribaltamento, intorno ad una retta detta asse di simmetria.

La figura illustra un esempio di triangoli simmetrici rispetto ad un generico asse

Ora vediamo come ricavare le equazioni della simmetria assiale che ci consentono di determinare le coordinate dei punti simmetrici.

Partiamo dall’equazione dell’asse

Dalla definizione stessa di simmetria assiale, si determinano le due seguenti condizioni:

1. il punto medio di deve appartenere all’asse ;

2. la retta deve essere perpendicolare ad quindi il suo coefficiente angolare deve essere

   

   dove è il coefficiente angolare dell’asse.

Se indichiamo le coordinate di e le coordinate di , essendo il punto medio del segmento , saranno

ma poichè, per la 1) deve appartenere all’asse , possiamo scrivere

Adesso, ricordando la formula del coefficiente angolare di una retta passante per due punti, possiamo scrivere che

e applicando la condizione di perpendicolarità imposta dalla condizione 2) si ha

giungiamo così al sistema formato dalle due condizioni (4) e (5)

da cui otteniamo la relazione che ci interessa:

Notiamo che, in particolare, se e ritroveremo le formule della simmetria rispetto alla bisettrice

Analogamente, se e ritroveremo le formule della simmetria rispetto alla bisettrice

Simmetria rispetto ad una parallela agli assi y e x

Consideriamo infine alcuni casi particolare dell’asse di simmetria.

Quando l’asse è una retta parallela all'asse , quindi ha equazione del tipo

i punti e avranno la stessa ordinata, quindi per calcolare l'ascissa possiamo ancora ricorrere alla condizione che il punto della retta é il punto medio del segmento

quindi le sue coordinate sono

ma considerando che è anche un punto dell’asse possiamo anche scrivere

da cui, si ricavano facilmente le formule della simmetria

e della simmetria inversa

Nel caso particolare in cui l’asse sia proprio l'asse () abbiamo

Se la retta é parallela all'asse , quindi di equazione , i punti e avranno la stessa ascissa e, analogamente al caso precedente, per calcolare l'ordinata bisogna tener conto che il punto della retta é il punto medio del segmento pertanto, con calcoli simili a quelli precedenti si ottengono le formule della simmetria

Infine, se l’asse è prioprio l’asse delle di equazione , si ha