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Seno e coseno di angoli opposti, complementari e supplementari

Vi sono situazioni geometriche per le quali il valore del coseno e del seno possono facilmente ricavarsi l’uno dall’altro, ad esempio per gli angoli opposti, complementari e supplementari. In questo paragrafo vedremo i casi più frequenti ed importanti perché consentono di semplificare notevolmente la risoluzione di moltissimi problemi di geometria e di analisi.

Angoli opposti

Due angoli sono opposti quando hanno la stessa ampiezza in valore assoluto, ma segno diverso. Sulla circonferenza goniometrica l’uno è orientato in verso orario e l’altro in verso antiorario: sono simmetrici rispetto all’asse delle ascisse e quindi

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perchè le ascisse rimangono inalterate

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perché le ordinate cambiano di segno.

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Angoli complementari

Due angoli sono complementari se, insieme, formano un angolo retto (e quindi di ampiezza Studenti/matematica), ad esempio Studenti/matematica e Studenti/matematica rappresentano le ampiezze di due angoli complementari. Sulla circonferenza goniometrica, i lati finali di due angoli complementari individuano due punti Studenti/matematica e Studenti/matematica che sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante; pertanto le ascisse e le ordinate si scambiano tra loro e quindi si ha

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Angoli supplementari

Due angoli si dicono supplementari se, insieme, formano un angolo piatto (Studenti/matematica), ad esempio Studenti/matematica e Studenti/matematica rappresentano le ampiezze di due angoli supplementari. Sulla circonferenza goniometrica, i lati finali di due angoli supplementari individuano due punti Studenti/matematica e Studenti/matematica che sono simmetrici rispetto all’asse delle ordinate. Le ordinate, pertanto, sono uguali, mentre le ascisse hanno segno opposto e quindi si ha

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Periodicità delle funzioni coseno e seno

Una caratteristica fondamentale delle funzioni coseno e seno è che il loro valore è uguale per angoli che differiscono per multipli interi di Studenti/matematica. Infatti, la posizione del lato finale è la stessa se si aggiunge un numero qualsiasi di rotazioni dell'angolo giro. In altre parole, si ha

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Poichè le funzioni seno e coseno assumono gli stessi valori ad intervalli costanti di ampiezza Studenti/matematica, esse sono funzioni periodiche di periodo Studenti/matematica.

Esempio 1

Calcolare il valore delle seguenti espressioni

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Utilizzando le formule fin qui viste, si ricava facilmente che

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Cosinusoide e sinusoide

Come si è visto, la funzione Studenti/matematica ha per dominio l'insieme dei numeri reali e per codominio l'intervallo Studenti/matematica. Inoltre per la (1), essendo Studenti/matematica è una funzione pari. Allora, il suo grafico, detto cosinusoide, è simmetrico rispetto all’asse Studenti/matematica come mostra la figura:

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La funzione Studenti/matematica ha per dominio l’insieme dei numeri reali e per codominio l’intervallo Studenti/matematica. Inoltre per la (2) essendo Studenti/matematica è una funzione dispari. Allora, il suo grafico, detto sinusoide, è simmetrico rispetto all’origine come mostra la figura:

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Per le proprietà (3) e (4) la sinusoide e la cosinusoide sono sovrapponibili con una traslazione del grafico di angolo Studenti/matematica o Studenti/matematica, rispettivamente

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