Vi sono situazioni geometriche per le quali il valore del coseno e del seno possono facilmente ricavarsi l’uno dall’altro, ad esempio per gli angoli opposti, complementari e supplementari. In questo paragrafo vedremo i casi più frequenti ed importanti perché consentono di semplificare notevolmente la risoluzione di moltissimi problemi di geometria e di analisi.
Angoli opposti
Due angoli sono opposti quando hanno la stessa ampiezza in valore assoluto, ma segno diverso. Sulla circonferenza goniometrica l’uno è orientato in verso orario e l’altro in verso antiorario: sono simmetrici rispetto all’asse delle ascisse e quindi
perchè le ascisse rimangono inalterate
perché le ordinate cambiano di segno.
Angoli complementari
Due angoli sono complementari se, insieme, formano un angolo retto (e quindi di ampiezza 
), ad esempio 
e 
rappresentano le ampiezze di due angoli complementari. Sulla circonferenza goniometrica, i lati finali di due angoli complementari individuano due punti 
e 
che sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante; pertanto le ascisse e le ordinate si scambiano tra loro e quindi si ha
Angoli supplementari
Due angoli si dicono supplementari se, insieme, formano un angolo piatto (
), ad esempio 
e 
rappresentano le ampiezze di due angoli supplementari. Sulla circonferenza goniometrica, i lati finali di due angoli supplementari individuano due punti 
e 
che sono simmetrici rispetto all’asse delle ordinate. Le ordinate, pertanto, sono uguali, mentre le ascisse hanno segno opposto e quindi si ha
Periodicità delle funzioni coseno e seno
Una caratteristica fondamentale delle funzioni coseno e seno è che il loro valore è uguale per angoli che differiscono per multipli interi di 
. Infatti, la posizione del lato finale è la stessa se si aggiunge un numero qualsiasi di rotazioni dell'angolo giro. In altre parole, si ha
Poichè le funzioni seno e coseno assumono gli stessi valori ad intervalli costanti di ampiezza 
, esse sono funzioni periodiche di periodo 
.
Esempio 1
Calcolare il valore delle seguenti espressioni
Utilizzando le formule fin qui viste, si ricava facilmente che
Cosinusoide e sinusoide
Come si è visto, la funzione 
ha per dominio l'insieme dei numeri reali e per codominio l'intervallo 
. Inoltre per la (1), essendo 
è una funzione pari. Allora, il suo grafico, detto cosinusoide, è simmetrico rispetto all’asse 
come mostra la figura:
La funzione 
ha per dominio l’insieme dei numeri reali e per codominio l’intervallo 
. Inoltre per la (2) essendo 
è una funzione dispari. Allora, il suo grafico, detto sinusoide, è simmetrico rispetto all’origine come mostra la figura:
Per le proprietà (3) e (4) la sinusoide e la cosinusoide sono sovrapponibili con una traslazione del grafico di angolo 
o 
, rispettivamente
