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Proprietà dell’ellisse

In questo modulo vediamo alcune proprietà dell’ellisse.

Intersersezione con gli assi

L’ellisse di equazione

Studenti/matematica

interseca l’asse Studenti/matematica nei punti Studenti/matematica e Studenti/matematica e l’asse Studenti/matematica nei punti Studenti/matematica e Studenti/matematica che sono i vertici dell’ellisse; il segmento Studenti/matematica sull’asse Studenti/matematica si chiama asse maggiore o asse focale, il segmento Studenti/matematica sull'asse Studenti/matematica asse minore. I numeri Studenti/matematica e Studenti/matematica ossia i segmenti Studenti/matematica e Studenti/matematica sono rispettivamente il semiasse maggiore e minore.

Studenti/matematica

Se Studenti/matematica l’ellisse diventa

Studenti/matematica

che rappresenta una circonferenza.

Simmetria rispetto agli assi coordinati

Notiamo che le due equazioni

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

presentano i termini nelle variabili Studenti/matematica e Studenti/matematica al secondo grado, pertanto la curva é simmetrica rispetto agli assi coordinati e rispetto all'origine.

Limitazione dell'ellisse

Analizzando l'equazione

Studenti/matematica

si osserva che:

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

condizioni che scritte in altro modo indicano che

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

quindi la curva é compresa nel rettangolo individuato dalle rette

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Eccentricità

Si chiama eccentricità della curva Studenti/matematica il rapporto tra i termini Studenti/matematica ed Studenti/matematica, ossia

Studenti/matematica

Dalla relazione

Studenti/matematica

ricaviamo Studenti/matematica

Studenti/matematica

e dunque riscriviamo l’eccentricità come

Studenti/matematica

portando il denominatore sotto la radice e semplificando diventa

Studenti/matematica

si deduce facilmente che la quantità sotto radice è sempre minore di 1 per cui possiamo concludere dicendo che l’eccentricità è un valore compreso tra 0 ed 1

Studenti/matematica

In particolare, se Studenti/matematica allora si ha Studenti/matematica pertanto

Studenti/matematica

ed anche

Studenti/matematica

il che significa dire che l’equazione dell’ellisse

Studenti/matematica

diventa

Studenti/matematica

che rappresenta una circonferenza con centro nell'origine Studenti/matematica degli assi di raggio Studenti/matematica.

Vediamo ora il significato del coefficiente Studenti/matematica.

Dalla relazione

Studenti/matematica

si verifica che quando il rapporto Studenti/matematica si avvicina allo zero, quindi quanto più Studenti/matematica é grande rispetto a Studenti/matematica, tanto più l'eccentricità si avvicina a 1. Poiché la semidistanza focale é sempre minore del semiasse maggiore sarà Studenti/matematica.

L’eccentricità é pertanto la misura dello schiacciamento dell’ellisse sull’asse maggiore.

Notiamo infine che, se l’ellisse ha l’asse maggiore sull’asse Studenti/matematica allora i suoi fuochi sono su quest’asse e quindi possiamo scrivere

Studenti/matematica
Studenti/matematica

NOTA: l'’area della regione di piano delimitata dall’ellisse di semiassi Studenti/matematica, Studenti/matematica il cui valore si determina con gli strumenti dell'analisi infinitesimale vale: Studenti/matematica

Esempio

Data l’ellise

Studenti/matematica

darne una rappresentazione grafica.

Scriviamo l’ellisse in forma canonica

Studenti/matematica

pertanto ricaviamo subito

Studenti/matematica
Studenti/matematica

essendo Studenti/matematica l’ellisse ha l’asse maggiore sull’asse Studenti/matematica.

Possiamo individuare il rettangolo che delimita la curva ed anche i suoi vertici. Infatti il rettangolo è formato dall'intersezione tra le seguenti rette

Studenti/matematica
Studenti/matematica

i cui vertici sono

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Troviamo alcuni punti della curva limitandoci a punti del primo e terzo quadrante poiché per la proprietà della simmetria possiamo poi dedurre anche gli altri punti. Infatti, sostituendo un valore Studenti/matematica nell’equazione dell’ellisse otteniamo un’equazione di secondo grado in Studenti/matematica che ci restituisce due valori, uno positivo ed uno negativo. Consideriamo le ascisse 0, 1, 2, e 3 tramite l’equazione dell’ellisse ricaviamo i punti

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Disegnamo questi punti sul piano e poi tracciamone i simmetrici rispetto all’asse y, semplicemente considerando i punti del tipo Studenti/matematica che si ribaltano in Studenti/matematica, per Studenti/matematica.

Mettiamo i punti sul piano, insieme al rettangolo che delimita l’ellisse e poi uniamo i punto per tracciare il grafico dell’ellisse

Studenti/matematica