Intersersezione con gli assi

L’ellisse di equazione

interseca l’asse nei punti e e l’asse nei punti e che sono i vertici dell’ellisse; il segmento sull’asse si chiama asse maggiore o asse focale, il segmento sull'asse asse minore. I numeri e ossia i segmenti e sono rispettivamente il semiasse maggiore e minore.

Se l’ellisse diventa

che rappresenta una circonferenza.

Simmetria rispetto agli assi coordinati

Notiamo che le due equazioni

e

presentano i termini nelle variabili e al secondo grado, pertanto la curva é simmetrica rispetto agli assi coordinati e rispetto all'origine.

Limitazione dell'ellisse

Analizzando l'equazione

si osserva che:

e

condizioni che scritte in altro modo indicano che

e

quindi la curva é compresa nel rettangolo individuato dalle rette

Eccentricità

Si chiama eccentricità della curva il rapporto tra i termini ed , ossia

Dalla relazione

ricaviamo

e dunque riscriviamo l’eccentricità come

portando il denominatore sotto la radice e semplificando diventa

si deduce facilmente che la quantità sotto radice è sempre minore di 1 per cui possiamo concludere dicendo che l’eccentricità è un valore compreso tra 0 ed 1

In particolare, se allora si ha pertanto

ed anche

il che significa dire che l’equazione dell’ellisse

diventa

che rappresenta una circonferenza con centro nell'origine degli assi di raggio .

Vediamo ora il significato del coefficiente .

Dalla relazione

si verifica che quando il rapporto si avvicina allo zero, quindi quanto più é grande rispetto a , tanto più l'eccentricità si avvicina a 1. Poiché la semidistanza focale é sempre minore del semiasse maggiore sarà .

L’eccentricità é pertanto la misura dello schiacciamento dell’ellisse sull’asse maggiore.

Notiamo infine che, se l’ellisse ha l’asse maggiore sull’asse allora i suoi fuochi sono su quest’asse e quindi possiamo scrivere

NOTA: l'’area della regione di piano delimitata dall’ellisse di semiassi , il cui valore si determina con gli strumenti dell'analisi infinitesimale vale:

Esempio

Data l’ellise

darne una rappresentazione grafica.

Scriviamo l’ellisse in forma canonica

pertanto ricaviamo subito

essendo l’ellisse ha l’asse maggiore sull’asse .

Possiamo individuare il rettangolo che delimita la curva ed anche i suoi vertici. Infatti il rettangolo è formato dall'intersezione tra le seguenti rette

i cui vertici sono

Troviamo alcuni punti della curva limitandoci a punti del primo e terzo quadrante poiché per la proprietà della simmetria possiamo poi dedurre anche gli altri punti. Infatti, sostituendo un valore nell’equazione dell’ellisse otteniamo un’equazione di secondo grado in che ci restituisce due valori, uno positivo ed uno negativo. Consideriamo le ascisse 0, 1, 2, e 3 tramite l’equazione dell’ellisse ricaviamo i punti

Disegnamo questi punti sul piano e poi tracciamone i simmetrici rispetto all’asse y, semplicemente considerando i punti del tipo che si ribaltano in , per .

Mettiamo i punti sul piano, insieme al rettangolo che delimita l’ellisse e poi uniamo i punto per tracciare il grafico dell’ellisse