Studio della continuità di una funzione: II° parte

Descrizione dettagliata dello studio della continuità di una funzione: dalla funzione continua ai punti di discontinuità

Studio della continuità di una funzione: II° parte

Argomenti trattati:
Definizione di funzione continua - Classificazione dei punti di discontinuità - Funzioni continue su [a,b]


Classificazione dei punti di discontinuità

1) Discontinuità di prima specie
Questo è il "classico" caso di discontinuità. Come si vedrà, infatti, la funzione presenta in corrispondenza di x 0 un "salto".

Definizione:
Si dice che x 0 è un punto di discontinuità di prima specie per la funzione f(x), quando limite destro e limite sinistro esistono e sono finiti, ma non coincidono. Ovvero:

con l 1 e l 2 finiti (numeri reali qualsiasi), diversi tra loro: l 1 l 2.

Se f (x) ha in x 0 una discontinuità di prima specie, il suo grafico in corrispondenza di x 0 compie un salto, di ampiezza pari a |l 1 -l 2 |.
Un esempio di funzione che ammette in corrispondenza di ogni numero relativo discontinuità di prima specie è la funzione "parte intera di x":

Funzioni continue e asintoti: punti di discontinuità



2) Discontinuità di seconda specie

Definizione:
Si dice che x 0 è punto di discontinuità di seconda specie per la funzione f(x), se si verifica una di queste due alternative (N.B: non possono verificarsi contemporaneamente):

a) il limite non esiste (come avviene, ad esempio, per la funzione f(x)=sen(1/x) in corrispondenza di x 0 =0);

oppure


b) almeno uno tra limite destro e sinistro è infinito:
oppure

In quest'ultimo caso, (talvolta si dice anche che x 0 è un punto di infinito per f(x)) la funzione ammette asintoto verticale dato dalla retta di equazione x=x 0.

3) Discontinuità di terza specie (o eliminabile)
Questo tipo di discontinuità mette in crisi molti studenti. Il problema è che spesso non si riesce a capire perché venga denominata discontinua una situazione in cui non sembra esserci alcuna discontinuità.

Matematica: spiegazioni ed esercizi svolti



Vediamo intanto di definirla e poi di fare alcune considerazioni.

Si dice che x 0 è punto di discontinuità di terza specie per la funzione f(x), quando limite destro e sinistro esistono, finiti e coincidono (quindi è verificata la condizione 2) della definizione di continuità: esiste finito il limite per x tendente a x0, chiamiamolo l), MA:

a) x 0 non appartiene al dominio (non è verificata la condizione 1));

oppure


b) x 0 appartiene al dominio, ma il valore del limite per x tendente a x 0 (che abbiamo detto esistere, vedi grassetto poco sopra) non coincide con f(x 0):
non è verificata, dunque, la condizione 3) della definizione di continuità.

In quest'ultimo caso si ha una situazione "balorda": la funzione avvicinandosia x 0 sta tendendo regolarmente verso un determinato valore (sia da destra che da sinistra), ma la funzione nel punto x 0 assume tutt'altro valore. Vedremo degli esempi e come comportarci.

Nel primo caso (a), la discontinuità si può eliminare per completamento, cioè aggiungendo al dominio il punto x 0 e definendo (noi dobbiamo definirlo): f(x 0) = l.
Esempio:
Data la seguente funzione,

essa risulta definita per tutti gli x0. Ovvero: X =R-{0}.

Ma dai limiti notevoli si sa che:

Quindi, in x0=0 esiste il limite (finito): vale 1.

Allora si può eliminare la discontinuità della funzione di partenza (era discontinua perché al suo dominio mancava un punto: non potevo calcolare f(0)) costruendo una nuova funzione a partire da quella assegnata, così fatta:

Alla funzione assegnata, è stata "sostituita" una funzione che è uguale a quella iniziale per x0, ma è stata aggiunta una riga in cui si dice che in corrispondenza di x=0, la nuova funzione vale 1, cioè: f(0)=1.
Perché si è scelto di assegnare il valore 1 per x=0? Perché questo è il valore del limite per x tendente a 0.
Così facendo, le 3 condizioni per la continuità sono tutte soddisfatte dalla nuova funzione.
Notare che la nuova funzione è definita per tutti i valori reali: X =R.

In generale, dunque, in casi come questo bisogna completare il dominio (aggiungendo il punto x 0) e porre f(x 0)= l.

Nel secondo caso (b), ci si comporta in maniera molto simile.
In questo caso, bisognerà eliminare la discontinuità per correzione, cambiando il valore della funzione e ponendo, anche qui, f(x 0)= l.
Non c'è bisogno di fare nuovi esempi.
Se vi danno la funzione di poco fa:

in cui, come si vede, la funzione è definita per tutti i valori reali e in x=0 vale 2.

Per quanto visto sopra, dal calcolo del limite notevole, si deduce che la funzione in 0 assume un valore (f(0)=2) diverso da quello a cui tende nelle sue vicinanze (che come abbiamo visto è uguale ad 1).
Per eliminare la discontinuità in questo caso, bisognerà cambiare la seconda riga, correggendo il valore 2 con 1.

In questo modo si avrà che la nuova funzione sarà definita su tutti i numeri reali e in x=0 varrà 1, che è proprio il valore del limite per x tendente a 0.
Ancora una volta, dunque, la chiave consiste nel porre f(x 0)= l.

La differenza, rispetto al caso precedente, è che qui bisogna correggere una " errata " definizione iniziale ("errata" dal punto di vista della continuità), mentre nel primo caso siamo proprio noi a definire quanto vale la funzione in x 0, visto che la funzione di partenza non era definita in quel punto.

Un consiglio in più