Funzioni lineari: esempi di esercizi svolti

Di Redazione Studenti.

Cosa sono e come si risolvono le funzioni lineari in matematica. Come disegnare il grafico di questo tipo di funzione e alcuni esercizi svolti e spiegati

Introduzione

Esercizi svolti sulle funzioni lineari
Esercizi svolti sulle funzioni lineari — Fonte: getty-images

Prima di vedere degli esempi pratici di funzioni lineari diamone una definizione: una funzione è lo studio della corrispondenza tra due grandezze, analizza cioè, date due grandezze, come varia la seconda al variare della prima.

Sono dette lineari le funzioni in cui le incognite compaiono con esponente 1 e non si trovano al denominatore.

Da un punto di vista grafico queste funzioni vengono rappresentate dalle rette e hanno per equazione generale y = mx + n, dove m si chiama coefficiente angolare della retta ed indica l'andamento della retta; esso corrisponde, matematicamente, alla tangente dell'angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse. N invece rappresenta un generale polimero. m inoltre indica la crescenza della retta, ovvero, per m0 avremo una retta crescente.

Di seguito vedremo ancora un poco di teoria e degli esempi di esercizi base svolti per l'applicazione pratica di quanto spiegato. Per capire il corretto svolgimento è necessario però esercitarsi anche su altre tipologie di esercizi.

Grafico di una funzione lineare

In generale, le funzioni lineari sono descritte come: f(x) = mx + q, dove q = f(0), ovvero q è un numero noto qualsiasi.

Vediamo prima di tutto come disegnare il grafico di questa funzione: trattandosi di una funzione lineare il grafico sarà una retta, quindi basta trovare almeno due punti appartenenti a questa sul piano cartesiano e congiungerli per ottenere la direzione della retta.

Trovare due punti appartenenti alla funzione è estremamente semplice: basta assegnare alla x due valori, possibilmente bassi per questioni di comodità di calcolo, ad esempio 0 e 1, e calcolare i corrispondenti valori di y.

Prendiamo ad esempio la funzione y = 2x + 1. Se x = 0 --> y = 1, otteniamo il punto A (0;1). Se x = 1 --> y = 3, otteniamo B (1;3).

Condizione di parallelismo

Vediamo ora alcuni concetti fondamentali. Cominciamo con lo stabilire se due rette sono parallele sapendo le loro equazioni.

Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare (m). Ricordate che se trovate una retta scritta in questo modo by + ax + q = 0, allora m = -a/b.

Per stabilire se le rette sono parallele basta calcolare questi valori e verificare che siano uguali.

Ad esempio, consideriamo le rette:

  1. 3x + 2y +1 = 0;
  2. 6x + 4t + 12 = 0.

Calcoliamo i coefficienti angolari:

  1. m = -3/2;
  2. m = -6/4 = -3/2.

I coefficienti sono uguali, quindi le rette sono parallele.

Condizione di perpendicolarità

Un procedimento analogo può essere seguito per dimostrare che due rette sono perpendicolari.

Il criterio che deve essere soddisfatto affinché due rette siano tra loro perpendicolari è che i coefficienti angolari siano l'uno l'antireciproco dell'altro. Significa che se una retta ha coefficiente m, l'altra deve avere coefficiente -1/m.

Esempio:

  1. 3x + 2y + 1 = 0;
  2. 2x - 3y + 9 = 0.

Calcoliamo i coefficienti:

  1. m = -3/2
  2. m = 3/2.

I coefficienti sono antireciproci, quindi le rette sono perpendicolari. Notate come nello stabilire se due rette siano parallele o perpendicolari il termine noto sia del tutto indifferente.

Intersezione di due rette

Vediamo ora di capire come calcolare il punto in cui due rette, ovviamente non parallele, si intersecano.

Deve esistere un punto le cui coordinate soddisfino entrambe le equazioni di due rette non parallele. Per trovarlo dobbiamo intersecare le funzioni delle due rette con il metodo di sostituzione.

Ad esempio:

  1. y = x + 1;
  2. x + 2y = 3.

Sostituiamo la prima equazione nella seconda e otteniamo: x + 2 (x + 1) = 3. Risolvendo otteniamo che x = 1/3, quindi y = 4/3. Il punto di intersezione tra queste due rette è quindi (1/3; 4/3).

Notate che questo è anche un metodo alternativo per stabilire se due rette sono parallele: infatti se sostituendo otterrete una equazione impossibile, significherà che non ci sono punti di intersezione.

Costruzione di una retta dati due punti

Un'ultima tipologia di esercizio di fronte a cui potreste trovarvi è quella in cui vi viene richiesto di individuare l'equazione di una retta noti due punti che appartengono ad essa.

Graficamente l'operazione è molto semplice: basta infatti congiungere i due punti noti e prolungare il segmento ottenuto per disegnare la retta in esame.

Ma come si fa da un punto di vista matematico? La formula da utilizzare è la seguente: (x - x1/x2 - x1) = (y - y1/y2 - y1).

Facciamo un esempio, considerando i punti A (0,1) e B (1,3). Le coordinate di A saranno x1 e y1 mentre le coordinate di B saranno x2 e y2.

Applichiamo dunque la formula: (x - 0/1 - 0) = (y - 1/3 - 1). Risolvendo otteniamo l'equazione: x = y - 1/2, cioè y = 2x + 1/2.

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