Equazioni di Secondo Grado: spiegazione, teoria, esempi

Di Redazione Studenti.

Equazioni di secondo grado pure, spurie, fratte. Spiegazione, formula della risoluzione, teoria ed esempi per esercitarsi

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Equazioni di secondo grado: cosa sono e come funzionano
Equazioni di secondo grado: cosa sono e come funzionano — Fonte: istock

Stai cercando informazioni sulle equazioni di secondo grado per una verifica di matematica? Se è così, qui potrai trovare quello che cerchi. Ecco una guida completa sulle equazioni di secondo grado da tenere a portata di mano per le tue verifiche.

Per un ripasso sulle equazioni di primo grado, invece, puoi fìdare uno sguardo qui:

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO: DEFINIZIONE

Si dice equazione di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo:

ax
2+ bx + c=0
con a0 (altrimenti sarebbe di primo grado...).

Questa è anche detta forma normale di un'equazione di secondo grado.

Dal punto di vista grafico (geometria analitica), risolvere un'equazione di secondo grado significa trovare le intersezioni, se esistono, della parabola di equazione
y= ax2 + bx+ c con l'asse x (y=0), ovvero risolvere il sistema:

FORMULA RISOLUTIVA

La formula risolutiva delle equazioni di secondo grado è data dalla seguente:


con cui è possibile determinare le radici dell'equazione, ovvero i valori che, sostituiti al posto della variabile x nell'equazione data, la rendono un'identità (0=0).
Come si vede, nella formula compaiono solamente i coefficienti dell'equazione in forma normale: noti questi, si calcolano immediatamente le radici dell'equazione.

Esiste anche una formula più semplice, detta formula ridotta, che vale solamente nel caso in cui il coefficiente del termine di primo grado, b, sia pari:



Quest'ultima formula si semplifica ulteriormente, qualora risultasse a=1.

L'espressione che compare sotto radice quadrata nella formula risolutiva:
viene chiamato discriminante (tra poco vedremo cosa "discrimina") ed è generalmente indicato con la lettera greca(delta maiuscolo).
Per cui, d'ora in poi avremo: =.

IMPORTANTE
La formula risolutiva può essere applicata a qualsiasi equazione di secondo grado.
Risulta, però, più semplice risolvere le equazioni incomplete (quelle in cui b e/o c sono uguali a zero) ricorrendo alle regole note di scomposizione dei polinomi.

Tra poco daremo una classificazione delle equazioni incomplete. Negli esempi vedremo in dettaglio come comportarsi in questi casi particolari, per evitare di ricorrere alla formula risolutiva che, ripetiamolo, porterebbe comunque al risultato (anche se in modo più macchinoso).

Le soluzioni di un'equazione di secondo grado dipendono dal valore del discriminante (il delta). In particolare il segno del delta ci informa se le soluzioni sono reali o complesse e, nel primo caso, se sono distinte o coincidenti.

SCHEMA DI RIFERIMENTO

Per l'esattezza, ecco lo schema di riferimento:

>0: l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte date dalla formula risolutiva vista sopra.
=0: l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti della forma (basta porre b2 - 4ac = 0 nella formula risolutiva):

<0: l'equazione non ammette soluzioni reali, ma ammette due soluzioni complesse coniugate.
Quest'ultimo caso, per adesso non ci interessa. Ci tornerà utile quando vedremo le disequazioni di secondo grado.

Intanto notiamo che quando 0, abbiamo soluzioni reali: distinte se è strettamente positivo, coincidenti se è nullo.
Per risolvere un'equazione di secondo grado, è, quindi, opportuno calcolare prima il discriminante, per verificare se l'equazione ammette o no soluzioni reali.
Notiamo anche che un'equazione di secondo grado ammette sempre due soluzioni (reali o complesse).

Nota
(per i più interessati)

Il legame tra il grado di un'equazione e il numero di soluzioni (nel nostro caso: secondo grado, due soluzioni) è espresso dal teorema fondamentale dell'algebra, che vale in generale per equazioni di grado qualsiasi con coefficienti complessi: questo teorema dice proprio che un'equazione di grado n a coefficienti complessi ammette n soluzioni complesse, ciascuna contata con la propria molteplicità.

RELAZIONE, DIMOSTRAZIONE E CLASSIFICAZIONI DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Ecco le ultime cose da tener presente nello studio delle equazioni di secondo grado, prima di passare agli esempi:

  • Relazioni tra le soluzioni di un equazione di secondo grado;
  • Classificazione delle equazioni di secondo grado sulla base della presenza/assenza dei termini che compaiono nella forma normale;
  • Dimostrazione della formula risolutiva.

RELAZIONI TRA LE SOLUZIONI DI UN'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

Tra le due soluzioni di un'equazione di secondo grado in forma normale, x1 e x2, intercorrono le due seguenti relazioni:

x1+x2= - b/ a
x1*x2= c/ a

Le due relazioni esprimono delle proprietà molto semplici, soprattutto nel caso in cui si abbia a=1 (coefficiente di x2 uguale a uno): in questo caso, si ha che la somma delle due radici dà per risultato il coefficiente del termine di primo grado, b, cambiato di segno; il prodotto delle due radici dà per risultato il termine noto, c.
In molti casi, particolarmente semplici, è possibile con un po' di intuito risolvere un'equazione di secondo grado soltanto utilizzando queste proprietà: basterà cercare due numeri la cui somma è -b e il cui prodotto è c (siamo nel caso a=1, altrimenti è più complesso e vi consiglio di lasciare perdere perché si rischia di commettere errori).

Ad esempio, l'equazione: x2- 5x + 6=0
si può risolvere senza utilizzare la formula risolutiva: basterà cercare due numeri la cui somma è +5 e il cui prodotto è +6. Questi due numeri sono +2 e +3; quindi, le soluzioni dell'equazione sono date da: x1 =2, x2 =3
Se non ci credete, provate a risolverla con la formula risolutiva: otterrete lo stesso risultato.

CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Data l'equazione di secondo grado in forma normale, ax2+ bx + c=0:

  • Se b0 e c0, l'equazione è completa
  • Se b=0 e c0, l'equazione è incompleta ed è detta pura
  • Se c=0 e b0, l'equazione è incompleta ed è detta spuria

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA RISOLUTIVA

L'obiettivo di questa dimostrazione è di far vedere che, data un'equazione di secondo grado in forma normale,
ax
2 + bx + c=0 ( a0), le sue radici sono date dalla formula:


Dimostrazione:

Dividiamo per a entrambi i membri e portiamo il termine noto al secondo (ricordo che per ipotesi a0):


Aggiungendo ad ambo i membri il termine b2 /4a2 , si riesce ad ottenere, a primo i membro, lo sviluppo di un quadrato di binomio; estraendo poi la radice quadrata si ottiene la formula cercata:

ESEMPI PRATICI

Ecco ora per ciascuna tipologia di equazione degli esempi che possono aiutarti nella risoluzione.

ESEMPIO 1: DUE SOLUZIONI REALI E DISTINTE

Primo esempio

4x2 + 27x -7= 0
= 841>0

L'equazione ammette due soluzioni reali e distinte; andiamo a calcolarle:


Per cui:
x1= - 7 e x2= 1/4

ESEMPIO 2: EQUAZIONE INCOMPLETA (PURA)

Secondo Esempio

49x2- 36=0
Come si vede questa è un'equazione incompleta (pura). Per risolverla non è necessario utilizzare la formula risolutiva, ma possiamo procedere in modo analogo a quello che si fa nelle equazioni di primo grado: portiamo il termine noto a secondo membro e dividiamo ambo i membri per il coefficiente di x2, in modo da isolare l'incognita:
x2 = 36/49
A questo punto per trovare le soluzioni, basterà estrarre la radice quadrata della frazione a secondo membro; dal momento che un'equazione di secondo grado ammette sempre due soluzioni, dovremo considerare sia la radice quadrata con il segno + davanti che la radice con il segno - davanti. Infatti, entrambe, elevate al quadrato danno come risultato 36/49.
Si ha pertanto:

Come si vede, si tratta di due radici reali (distinte); si poteva accertare preventivamente questo fatto, calcolando il delta. Ma, essendo un'equazione incompleta, anche in questo siamo facilitati: basta, infatti, vedere che segno ha il termine noto una volta che lo si è trasportato a secondo membro, isolando x2 al primo (con coefficiente +1 , sottinteso).

  • Se è positivo, si può tranquillamente estrarre la radice quadrata, che fornisce un numero reale: quindi, avremo due soluzioni reali e distinte (deduciamo che il delta è positivo).
  • Se è negativo, la radice quadrata non ha senso (nel campo dei numeri reali) e quindi mi trovo davanti a due soluzioni complesse (deduciamo che il delta è negativo). In questo caso, ci si può interrompere, dichiarando che l'equazione non ha soluzioni reali.

Ad esempio, se abbiamo:
x2+3=0
Portando, a secondo membro il termine noto, abbiamo:
x2= -3
La radice quadrata di -3 non ha senso nel campo dei numeri reali: l'equazione non ammette soluzioni reali (quindi, il delta è negativo, come si può verificare facilmente).

ESEMPIO 3: EQUAZIONE SPURIA

Terzo esempio


Anche in questo caso ci troviamo davanti a un'equazione incompleta, ma stavolta manca il termine noto (equazione spuria).
Queste sono le più facili. Ammettono sempre due soluzioni reali e distinte di cui una è uguale a zero (per cui il delta è sempre maggiore di zero, non c'è bisogno di andare a calcolarlo).

Per risolverle, basta ricondursi a un prodotto e applicare la legge di annullamento del prodotto.
Metto in evidenza x:

Ho un prodotto di due fattori, che si deve annullare: come sappiamo, si annulla se almeno uno dei due fattori si annulla.
Cioè: oppure
La prima ci fornisce immediatamente la soluzione: x=0 (come già anticipato).

La seconda è una banale equazione di primo grado che si risolve facilmente, fornendo la seconda soluzione:

In conclusione, abbiamo le due soluzioni (reali e distinte):

ESEMPIO 4: DUE SOLUZIONI REALI E COINCIDENTI

Quarto esempio

4x2 - 12x + 9=0
Calcoliamo il delta:
=0
Avremo due soluzioni reali e coincidenti:
x1=x2=3/2
Si noti che, in casi come questo, il trinomio a primo membro è lo sviluppo di un quadrato di binomio: nel nostro caso è lo sviluppo del quadrato di (2x-3).

Se lo si nota in anticipo, si può evitare il calcolo del delta e delle soluzioni tramite la formula risolutiva: basterà porre la base del quadrato uguale a zero e risolvere un'equazione di primo grado (nel nostro casa basta porre 2x-3=0, che fornisce la soluzione x=3/2, che avrà molteplicità 2, come visto sopra).

ESEMPIO 5: L'EQUAZIONE NON AMMETTE SOLUZIONI REALI

Quinto esempio

13x2 + 7x + 1=0
Calcoliamo il delta:
=-3<0
Il delta è negativo, pertanto l'equazione non ammette soluzioni reali.

EQUAZIONI: TUTTO QUELLO CHE DEVI SAPERE

Se hai bisogno di ulteriori spiegazioni sulle equazioni, puoi dare uno sguardo qui: