Le disequazioni di primo grado: teoria ed esempi

Di Redazione Studenti.

Disequazioni di primo grado: come si fanno? Come si risolvono? Spiegazione e tipologie: intere, frazionarie, fattorizzate e sistemi di equazioni

Disequazioni di primo grado

Spaventato per il compito in classe di matematica sulle disequazioni di primo grado? Non temere: capirle è più semplice di quel che puoi immaginare. Intanto, puoi seguire questa guida: fra teoria e pratica troverai la bussola fra i numeri!

Disequazioni di primo grado intere

Considero due polinomi A(x) e B(x), entrambi di primo grado in x.
Le seguenti espressioni:




sono dette disequazioni.
Per quanto riguarda i termini utilizzati: primo membro, secondo membro, incognita, grado, ecc, essi hanno lo stesso significato che presentano nel caso delle equazioni: x è l'incognita; primo membro è tutto ciò che si trova a sinistra del simbolo della disuguaglianza; secondo membro è ciò che si trova a destra; grado della disequazione è il più alto esponente con cui compare l'incognita.

Altrettanto si può dire delle proprietà (sommando/sottraendo la stessa quantità ai due membri..., moltiplicando/dividendo per un numero diverso da zero entrambi i membri...il risultato non cambia).

Attenzione
: sulla moltiplicazione/divisione per un numero diverso da zero si dovrà fare una distinzione rispetto a quanto vale per le equazioni. Si vedrà nel seguito, quando si descriverà il metodo per risolvere una disequazione.
Intanto notiamo che una distinzione che occorre tenere presente, riguarda il concetto di soluzione: infatti, mentre nel caso di un' equazione di primo grado la soluzione (se esiste) è unica, nel caso di una disequazione la soluzione è, alternativamente:
- un insieme di valori reali (un intervallo o l'unione di intervalli, quindi infiniti valori)
- l'insieme vuoto, quindi nessuna soluzione.
(In casi particolari, anche per le disequazioni è possibile che ci sia un solo valore di x che soddisfi la disequazione).

Svolgimento delle disequazioni di primo grado intere

Lo svolgimento, ossia la ricerca delle soluzioni di una disequazione di primo grado si sviluppa con le stesse modalità con cui si affronta un'equazione di primo grado: attraverso l'applicazione consapevole delle proprietà accennate sopra si trasportano tutti i termini contenenti la x a primo membro e quelli privi della x a secondo membro.
Bisogna tenere presente una condizione importante: nel caso in cui a primo membro il coefficiente della x sia negativo occorre:

  • Moltiplicare per –1 sia il primo che il secondo membro
  • Cambiare il verso della disuguaglianza, così che > diventi < (e viceversa) e diventi (e viceversa).

In generale, vale la seguente regola:
ogni volta che, in una disequazione, si moltiplicano/dividono ambo i membri per un numero negativo si deve cambiare il verso della disuguaglianza. La moltiplicazione/divisione per un numero positivo non ha, invece, nessuna controindicazione.

È utile, al termine dei calcoli, eseguire un piccolo grafico ove possa determinarsi il campo dei valori che verificano la disuguaglianza.
Nel grafico, per convenzione, utilizziamo linee continue per indicare l'intervallo in cui la disequazione è soddisfatta, linee tratteggiate per indicare l'intervallo dove la disequazione non è soddisfatta.








La soluzione si può pertanto rappresentare come segue:




Altro esempio:











Vediamo ora un esempio in cui l'insieme delle soluzioni è vuoto (ovvero, non esistono valori di x che soddisfano la disequazione data):




Quello che segue è, invece, un caso "complementare" al precedente, in cui l'insieme delle soluzioni coincide con l'insieme dei numeri reali, ovvero qualsiasi valore di x soddisfa la disequazione:




Disequazioni di primo grado frazionarie

In questa spiegazione ci concentreremo in modo particolare sulle disequazioni di primo grado frazionarie.

Come si presentano le disequazioni di primo grado frazionarie?
Queste si presentano nella forma:





Ovviamente si presenterà solo un caso per volta.

È importante sottolineare che queste disequazioni sono dette frazionarie, perché l'incognita compare al denominatore. Non importa, dunque, quello che c'è al numeratore, nella definizione di disequazione frazionaria.

Nel caso che a numeratore non ci sia l'incognita (e ci siano, quindi, solo costanti, ovvero dei numeri), i calcoli saranno più semplici, ma la procedura è comunque quella che stiamo andando ad illustrare.

Ancora più importante è non farsi trarre in inganno dalla presenza di un denominatore in cui non compaia l'incognita: in questo caso la disequazione non è frazionaria e per risolverla ci si può ricondurre al caso visto sopra.

In generale, bisogna ricordarsi che la presenza dell'incognita a denominatore comporta l'esclusione a priori di un valore per l'incognita (quello che annulla il denominatore). Questo varrà anche quando si considereranno disequazioni di grado superiore e disequazioni diverse da quelle algebriche (esponenziali, logaritmiche, ecc).

Attraverso il procedimento visto nel caso delle disequazioni intere, si studiano separatamente il NUM(x) ed il DEN(x) ponendoli entrambi > 0 indipendentemente dal verso della disequazione.

I risultati così trovati si pongono in una tabella contenente linee continue oppure tratteggiate analogamente a quanto visto per le disequazioni intere: una riga riguarderà il numeratore,l'altra il denominatore.

Attenzione: stavolta il significato delle linee continue e tratteggiate sta ad indicare il segno assunto dal numeratore/denominatore nei vari intervalli in cui suddividiamo la retta, come si vedrà meglio nell'esempio.
L'insieme delle soluzioni sarà dato dal/dagli intervallo/i in cui l'intera frazione assume il segno richiesto dall'esercizio.

Svolgimento delle disequazioni di primo grado frazionarie

Vediamo in pratica come si deve fare:








Come si vede, si sono studiati separatamente numeratore e denominatore, facendo attenzione a porre il denominatore soltanto > 0, perché, ricordiamolo ancora, il denominatore di una frazione non deve mai annullarsi, pena la perdita di significato dell'operazione di divisione.

Il numeratore, in questo caso, si può porre anche uguale a zero, perché nel testo dell'esercizio è prevista questa possibilità.

Importantissimo: una frazione si annulla se e soltanto se il suo numeratore si annulla.
Quindi, nel caso particolare che a numeratore ci siano solo delle costanti, potete stare certi che la vostra frazione non si annullerà mai!

Schema e osservazioni per la risoluzione

Riassumiamo:
•  studiamo separatamente numeratore e denominatore;
•  il denominatore lo pongo sempre > 0;
•  il numeratore lo posso porre anche = 0, se nel testo dell'esercizio è prevista questa possibilità; altrimenti, soltanto > 0.
Andiamo avanti con l'esercizio.
Abbiamo trovato gli intervalli in cui numeratore e denominatore sono, rispettivamente, ciascuno per conto proprio, maggiori di zero. Abbiamo detto che il numeratore si può anche annullare: naturalmente si annullerà proprio per x=5/2. Questo punto, così come x=1/4, dovrà essere opportunamente segnalato sul grafico finale.
Eccolo:







Osservazioni:

  • Uso il pallino pieno per indicare che il valore corrispondente è compreso (o accettabile); ciò avviene nel caso dei simboli e
  • Uso il pallino vuoto per indicare che il valore corrispondente non è compreso (o non accettabile);

I segni del risultato sono i seguenti:

  • + nel caso di linee entrambe tratteggiate o entrambe continue
  • – nel caso di linee diverse fra loro

Queste ultime due "regole" altro non sono che l'applicazione della regola dei segni:
+ diviso + fa +
– diviso + fa – (e viceversa)
– diviso – fa +

Non ci resta che dire per quali valori la disequazione di partenza è soddisfatta, ovvero "dov'è" che la frazione assegnata assume valori minori o uguali di zero. Basterà osservare il grafico finale e concludere che l'intervallo in cui "vedo" il meno è:




Ancora una volta, fate attenzione a dove mettere l'uguale: qui va solo in corrispondenza di x=5/2, per quanto già detto sopra.
L'intervallo scritto sopra è l'insieme delle soluzioni della nostra disequazione.
Si può fare una verifica: si prendono dei valori a caso interni a questo intervallo e si sostituisce alla frazione di partenza; se abbiamo fatto bene i calcoli dovrà venire un numero negativo. Se, invece, si prende un valore esterno all'intervallo delle soluzioni, sostituendo si dovrà ottenere un numero positivo. Provate.

Disequazioni di primo grado fattorizzate

Cosa sono le disequazioni fattorizzate?

Le disequazioni fattorizzate si presentano nella forma F1 (x)* F2 (x)* ......*F n (x) > 0, tenendo presente che:

  • Ciascun F i (x) è di primo grado;
  • Non necessariamente abbiamo il simbolo >, ma anche <, e .
  • Si arriva alla fattorizzazione attraverso i vari metodi di scomposizione studiati.

Si risolvono:

  • Ponendo ciascun F i (x)> 0, indipendentemente dal verso della disequazione;
  • Costruendo una tabella con linee continue e linee tratteggiate, così come nel caso delle disequazioni fratte: stavolta avremo tanti livelli quanti sono i fattori.

Di fatto questo, caso generalizza il precedente.

Consideriamo un esempio in cui i fattori sono tre:


Andiamo a studiare i tre fattori:





Per ciascuno abbiamo trovato l'intervallo in cui è positivo. Rappresentiamo il tutto, con le stesse convenzioni viste prima.






Qui, non essendoci il denominatore, non compaiono pallini vuoti.

I capisaldi (x=-1, x=2/3, x=5/4) sono i valori della x che annullano il prodotto (in quanto ognuno di essi annulla uno dei fattori) e sono accettabili perché nel testo è prevista la possibilità che il prodotto si annulli.

I segni per ciascun intervallo si mettono seguendo questa semplice regola:

  • + se non ci sono linee tratteggiate oppure sono in numero pari;
  • – se le linee tratteggiate sono in numero dispari.

Ancora una volta, questa non è altro che la ben nota regola dei segni.

Per trovare l'insieme delle soluzioni, dobbiamo vedere dove troviamo il segno –, ovvero dove il nostro prodotto assume valori negativi: ci sono due intervalli in cui questo avviene.

L' unione di questi due intervalli rappresenta il nostro insieme di soluzioni per la disequazione data.

Sistemi di disequazioni di primo grado

Cosa sono i sistemi di disequazioni di primo grado, e come si risolvono?

Si studiano separatamente le disequazioni, come visto ai punti precedenti.

Si riportano quindi i risultati ottenuti in una tabella contenente solo linee continue. La risposta tiene conto soltanto degli intervalli che soddisfano contemporaneamente tutte le disequazioni presenti.

Un sistema può essere privo di soluzioni. In sostanza, per ciascuna disequazione, a seconda della tipologia, si risolve secondo uno dei metodi visto sopra. Per ciascuna di esse si farà il grafico opportuno e si troveranno delle soluzioni.

Alla fine, si riuniranno questi risultati "individuali" in un unico grafico in cui tracceremo solo linee continue, ciascuna delle quali, riga per riga, rappresenterà lo/gli intervallo/i in cui la corrispondente disequazione è soddisfatta. Ci saranno tante linee, quante sono le disequazioni.

La soluzione, se esiste, è data dal/dagli intervallo/i in cui compare un numero di linee pari al numero di disequazioni: infatti, questo è l'unico modo affinché tutte le disequazioni siano contemporaneamente soddisfatte.
Se non esiste nessun intervallo in cui questo accade, il sistema è impossibile, ovvero non ammette soluzioni (o, se preferite, l'insieme delle soluzioni è vuoto).

Esempio di sistemi di disequazioni di primo grado

Vediamo un esempio:


Abbiamo due disequazioni. Studiamole separatamente:





 

L'unica cosa da "ricordare" per questa disequazione, che poi verrà riportata nel grafico finale, è che è soddisfatta per:


Per questa seconda disequazione, l'informazione rilevante è data da:

Per trovare la soluzione del sistema, riportiamo, dunque, in un unico grafico, che avrà due righe, una per ciascuna disequazione, i due insiemi di soluzione ottenuti.

Attenzione:

Sia la prima che la seconda disequazione hanno per soluzione l'unione di intervalli disgiunti. Non vi sbagliate! Per ciascuna disequazione vanno comunque riportati sulla stessa riga, anche se sono separati, e non su righe diverse.
Vediamolo:


Come si vede, nella prima riga abbiamo due linee: una "uscente" da 2 e una "uscente" da 3. Questa riga corrisponde alla prima disequazione che, effettivamente, era soddisfatta per valori minori di 2 o maggiori di 3.

Analogamente, nella seconda riga, ci sono due linee corrispondenti ai due intervalli disgiunti che costituivano l'insieme delle soluzioni della seconda disequazione.

Notate anche che nel grafico sono stati riportati nel modo corretto pallini vuoti e pieni, in conformità a quanto emerso dallo studio separato delle singole disequazioni del sistema.

Non abbiamo finito. Manca la risposta finale!

Dove vediamo due linee? Prima di 2/5 e dopo 4. Questi due intervalli (disgiunti) costituiscono la soluzione del nostro sistema di disequazioni.

Eccola:

Nota

È solamente un caso che la soluzione del sistema coincida con la soluzione di una delle disequazioni che vi facevano parte.

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