Disequazioni esponenziali: spiegazione ed esercizi

Di Redazione Studenti.

Spiegazione, esercizi e dimostrazioni delle disequazioni esponenziali. La guida per non perderti nel mondo della matematica

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

Le disequazioni esponenziali sono disequazioni in cui l’incognita compare come esponente di una potenza. Per risolverle, così come accade per le equazioni esponenziali, si cerca di ottenere una potenza chde presenti la stessa base sia al primo che al secondo membro.

Quando non è possibile farlo, invece, si cerca di trasformarla in una disequazione logaritmica in modo da poter operare un cambiamento di base.

Risolvere le disequazioni esponenziali significa, dal punto di vista grafico, stabilire per quali valori di x la curva esponenziale si trova, rispettivamente, al di sotto o al di sopra della retta y=b.

Diseguazioni esponenziali: ecco come funzionano
Diseguazioni esponenziali: ecco come funzionano — Fonte: istock

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI, ESEMPI. ESEMPIO 1

a > 1
Nel caso a > 1 si ha la seguente situazione grafica (vedi il grafico della funzione esponenziale):





e la disequazione ax > b risulta verificata per:
Infatti, la curva esponenziale si trova al di sopra della retta per valori più grandi (alla destra) del punto di intersezione tra i grafici.
La seconda disequazione: ax < b risulta, invece, verificata per:


Come si è visto nella sezione relativa alle equazioni esponenziali, x=log a b è il punto di intersezione tra la curva e la retta (è la soluzione dell'equazione esponenziale: a x =b).

ESEMPIO 2

0 < a < 1

Nel caso 0 < a < 1 si ha la seguente situazione grafica:





e la soluzione è "invertita" rispetto al caso precedente. Infatti, la disequazione ax > b risulta verificata per:
Infatti, in questo caso, i valori di x per i quali la curva esponenziale si trova al di sopra della retta, sono quelli minori (alla sinistra) del punto di intersezione tra i grafici.
La seconda disequazione: ax < b risulta, invece, verificata per
Anche in questo caso, ovviamente, x=log a b è il punto di intersezione tra curva esponenziale e retta.
Occorre fare molta attenzione al valore della base, quando si risolve una disequazione esponenziale (la stessa avvertenza vale anche per le disequazioni logaritmiche): una banale regola mnemonica può essere quella di pensare che quando a>1 la soluzione ha lo stesso verso della disequazione; se 0 Le prime volte può essere utile tracciare il grafico della funzione esponenziale, facendo attenzione a disegnarlo correttamente (!). Crescente se a>1, decrescente se 0.

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI CHE NON AMMETTONO SOLUZIONI REALI

Sia nel caso a > 1 che nel caso 0 < a < 1, se b < 0 (e cioè la retta si trova nel semipiano delle ordinate negative, ossia sotto l'asse x), la disequazione:



non ammette soluzioni reali (la curva esponenziale sta sempre sopra l'asse x), mentre la disequazione:

è verificata per ogni valore reale di x.

Queste "proprietà" sono una diretta conseguenza del fatto che la funzione esponenziale, qualunque sia la base, assume sempre valori strettamente positivi (il suo codominio è R +): pertanto, risulterà sempre maggiore e mai minore di un numero negativo.

ESEMPI PRATICI

vediamo alcuni esempi:












Notate come in quest'ultimo caso la soluzione ha verso opposto rispetto a quello della disequazione, in conseguenza del fatto che la base (1/2) è minore di 1.
Per concludere, vediamo un esempio più complesso.



Bisogna, innanzitutto, notare che la disequazione è definita per x0.

Possiamo riscriverla in questo modo, ricordando le proprietà delle potenze:




Facendo attenzione al fatto che la base è minore di 1, si dovrà risolvere la seguente disequazione (algebrica, razionale, fratta):


Con semplici passaggi, si ottiene:






Studiando separatamente Numeratore e Denominatore, si ha:



Da cui, studiando il segno, si ottiene la soluzione per la nostra equazione esponenziale di partenza:

EQUAZIONI: TUTTO QUELLO CHE DEVI SAPERE

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