Come verificare le condizioni di esistenza di una frazione algebrica

Di Redazione Studenti.

Come trovare le condizioni di esistenza di una frazione algebrica. In questa guida vi spieghiamo cosa sono le frazioni algebriche e le condizioni di esistenza con esempi

Introduzione

Condizioni di esistenza di una frazione algebrica
Condizioni di esistenza di una frazione algebrica — Fonte: getty-images

Se sei uno studente alle prime armi e stai affrontando la frazione algebrica per la prima volta, non devi stupirti per la presenza delle lettere associate ai numeri, questa è infatti una caratteristica peculiare dell'algebra.

L'algebra, a differenza della geometria, si fonda sull’applicazione di tecniche di calcolo finalizzate a risolvere situazioni pratiche, tutte abbastanza simili tra di loro.

La geometria dal canto suo richiede un approccio di maggiore ragionamento. L’algebra, quindi, potrebbe risultare più semplice da comprendere per lo studente.

Definizione di frazione algebrica

Per verificare le condizioni di esistenza di una frazione algebrica si parte dalla sua definizione. La frazione algebrica è una particolare tipologia di frazione in cui si ha un polinomio sia al numeratore che al denominatore.

Questa particolare frazione può esistere se e solo se si verificano le sue condizioni di esistenza. Tale controllo viene anche chiamato "verifica del dominio della funzione", che si indica con la lettera D, oltre alla verifica del dominio viene spesso richiesto anche il calcolo del codominio.

Condizione di esistenza

Per verificare le condizioni di esistenza di una frazione algebrica si mette in atto un procedimento molto semplice. Infatti, bisogna solo controllare che il denominatore sia sempre diverso da zero. In caso contrario, la frazione non esisterebbe.

Un esempio

Per comprendere meglio il calcolo del dominio di una frazione algebrica facciamo un esempio. Supponiamo di avere una frazione algebrica di questo tipo: (2a + 3b)/(a - 3).

A questo punto, bisognerà porre il denominatore diverso da zero. In termini numerici, dunque, bisogna porre (a - 3) diverso da zero.

Procedendo come una normalissima disequazione si giungerà all'inevitabile risultato di “a diverso da 3”. Avete appena verificato le condizioni di esistenza della frazione algebrica.

La frazione, infatti, esisterà per tutti i valori di a diversi da 3. Con “a=3” la frazione è inesistente.

I polinomi

Nella maggior parte dei casi, le frazioni algebriche possono essere semplificate. Mediante la scomposizione dei polinomi che le compongono, infatti, si è in grado di scriverle in maniera più semplice portando la loro risoluzione ad essere alla portata anche dello studente più disattento.

Un piccolo esempio per chiarire: (a - 5)/(a³ - 25a). Prendiamo in esame il denominatore: prima di tutto siamo in grado di effettuare il raccoglimento totale su a (ottenendo a (a² - 25)) e, in secondo luogo, andremo ad applicare la regola per la differenza dei quadrati.

Il risultato della scomposizione del denominatore sarà quindi a (a - 5) (a + 5). Semplifichiamo numeratore e denominatore e otterremo la frazione 1 / a (a + 5). La risoluzione è dunque presto fatta, poiché i valori che la annullano sono 0 e -5 ed esisterà pertanto per tutti i valori diversi da questi.