Come trovare le coordinate del vertice di una parabola
Come si calcolano le coordinate del vertice di una parabola? E quali sono le formule da usare? In questa guida ti spieghiamo come fare grazie ad alcuni esercizi
Indice
Introduzione
Se devi risolvere un particolare compito di geometria analitica e il testo del tuo esercizio ti richiede di trovare le coordinate del vertice di una parabola, sei nel posto giusto perché in questa guida ti spiegheremo come calcolarle.
Le parabole hanno sempre un punto più basso (o un punto più alto, se la parabola è capovolta); questo punto, dove la parabola cambia direzione, è chiamato il "vertice". Ecco, dunque, come trovare le coordinate del vertice di una parabola.
Coordinate del vertice
Per calcolare le coordinate del vertice della tua parabola la prima cosa che dovrai fare sarà quella di stabilire se l'asse della parabola è parallelo all'asse y, ossia l'asse delle ordinate, oppure se è parallelo all'asse x, ossia l'asse delle ascisse.
Nel primo caso, l'asse della parabola sarà verticale, mentre nel secondo caso l'asse sarà orizzontale, dunque sarà semplice distinguere il caso specifico del tuo esercizio di geometria, a partire dal grafico che avrai a disposizione.
Asse y
Ecco come potrai trovare le coordinate del vertice di una parabola il cui l’asse è parallelo all'asse y.
L'equazione generica della parabola, in questo caso, sarà: y = ax² + bx + c.
Di conseguenza, per trovare le coordinate del vertice non dovrai fare altro che applicare la seguente formula: V = (-b/2a, - Δ/4a)
Nella formula del vertice (V) potrai vedere che il valore di Delta (Δ) è facilmente calcolabile con la piccola formula: Δ = b² - 4ac.
Asse x
Prendi in esame il secondo caso, in cui l'asse della tua parabola è parallelo all'asse x. In modo simile al primo, l'equazione generica della parabola sarà: x = ay² + by + c.
Di conseguenza, per trovare le coordinate del vertice dovrai seguire la formula: V = (- Δ /4a; -b/2a). Anche in questo caso, il valore di Δ sarà uguale alla seguente formula: Δ = b² - 4ac.
Esercizio pratico
Per fare un po' di pratica, ecco un piccolo esercizio di esempio che potrai consultare per mettere in pratica quanto appreso fino ad ora, con qualche piccolo calcolo numerico.
Considera una parabola di equazione: y = 3x² + 5x + 2. Calcola adesso il vertice della parabola.
Nell'equazione considerata, avrai:
a = 3
b = 5
c = 2
Ricorda la formula: V = (-b/2a, - Δ/4a).
Quindi il vertice sarà dato dalle coordinate: V = (-5/6, - Δ/12)
Calcola il valore di Δ con la semplice formula appresa precedentemente: Δ = b² - 4ac.
Il valore di Δ sarà uguale a 5² - (4 x 3 x 2) = 25 - 24 = 1
Ecco che finalmente potrai calcolare il valore delle due coordinate del vertice della tua parabola: V = (-5/6, -1/12).
Coordinate del vertice senza coefficiente
In alcuni casi, il calcolo del vertice della parabola può risultare più semplice. Per esempio, se ti capita di dover trovare le coordinate del vertice di una parabola con equazione del tipo: y = 2x² - 3 non essendoci il coefficiente b, la parabola avrà il vertice che giace sull'asse y, che corrisponderà all'asse della parabola.
Infatti, calcolando il vertice, esso risulterà: V = (0, -24).
Quadratico uguale a zero
Se il quadratico è scritto nella forma y = a (x - h) 2 + k, allora il vertice è il punto (h, k). La parte quadrata è sempre positiva (per una parabola sul lato destro), a meno che non sia zero.
Il minimo possibile è: y = k; questo valore minimo si verifica quando la parte quadrata, x - h, è uguale a zero e la parte quadrata è zero quando x - h = 0, o quando x = h.
Lo stesso ragionamento funziona con k che è il valore più grande e la parte quadrata che sottrae sempre da esso, per le parabole capovolte.
Poiché il vertice è un punto utile e dal momento che puoi "leggere" le coordinate per il vertice dalla forma del quadratico, puoi vedere dove la forma del vertice può essere utile, specialmente se il vertice non è uno dei tuoi valori T-chart. Tuttavia, i quadratici di solito non sono scritti in forma di vertice.
Forma del vertice
Puoi completare il quadrato per convertire ax2 + bx + c alla forma del vertice, ma per trovare il vertice è più semplice usare solo una formula (la formula del vertice deriva dal processo di completamento del quadrato, proprio come la formula quadratica, ma in ogni caso la memorizzazione è probabilmente più semplice del completamento del quadrato).
Per una data quadratica y = ax2 + bx + c, il vertice (h, k) viene trovato calcolando h = - b/2 a, e quindi valutando y in h per trovare k.
Se hai già imparato la formula quadratica, potresti trovare facile memorizzare la formula per k, poiché è correlata sia alla formula che il discriminante nella formula quadratica: k = (4ac - b2)/4a.
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