Come trasformare una retta esplicita in implicita

Di Redazione Studenti.

Come si passa dalla forma esplicita alla forma implicita di una retta? Segui i passaggi di questa guida per ricavare l'equazione

Introduzione

Come trasformare una retta esplicita in implicita
Come trasformare una retta esplicita in implicita — Fonte: getty-images

La geometria analitica è una branca della matematica che combina la geometria euclidea con l'algebra. Lo scopo di tale disciplina è fornire i metodi per analizzare e sviluppare le curve del piano mediante delle equazioni.

La retta è il primo ente studiato dalla geometria analitica. Il primo passo da compiere è trasformare l'equazione di una retta dalla forma esplicita a quella implicita. In questa guida vedremo come fare tale trasformazione.

Equazione esplicita della retta

L'equazione di una generica retta scritta in forma esplicita ha la seguente forma y = mx + q, dove:

  • “m” è il coefficiente angolare indicante la pendenza della retta rispetto al semiasse positivo delle ascisse (di equazione y = 0). Esso corrisponde alla tangente trigonometrica dell'angolo spazzato dalla retta e dall'asse, nonché alla derivata prima dell'equazione della retta;
  • “q” è l'intercetta origine, ovvero il punto di intersezione tra la retta e l'asse delle ordinate (di equazione x = 0).

Equazione implicita della retta

L'equazione di una generica retta scritta in forma implicita ha la seguente forma ax + by +c = 0, dove la terna di valori (a, b, c) rappresentano rispettivamente i coefficienti dei due termini lineari ed il termine noto dell'equazione.

Essi non presentano alcun vincolo, possono variare quindi in tutto l'insieme dei numeri reali, ed in particolare:

  • se c = 0 si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine degli assi;
  • se a = 0 si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ascisse;
  • se b = 0 si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate.

Vale, inoltre, la seguente proprietà notevole: date due rette di equazione ax + bx + c = 0 e dx + ey + f = 0, se esiste un numero reale “k” tale che: a = kd, b = ke, c = kf allora le due equazioni rappresentano la medesima retta.

Passaggio dalla forma esplicita a quella implicita

In generale, per passare dall'equazione in forma esplicita a quella in forma implicita è sufficiente trasportare tutti gli addendi dal secondo membro al primo membro, in modo da ottenere la seguente equazione: mx - y + q = 0.

In particolare, se “m” e “q” sono due numeri razionali è sempre possibile esprimerli come il rapporto di due numeri interi, pertanto risulta: m = n1 / n2 e q = n3 / n4.

Si effettui il minimo comune multiplo tra n2 e n4. Indicando con “b” il risultato della precedente operazione si ottiene: m = k1n1 / b e q = k2n3 / b, dove k1 =b / n2 e k2 = b / n4.

Denominando k1n1 = -a e k2n2 = -c si ha la seguente espressione: y = - ax / b – c / b.

Moltiplicando ambo o membri per “b” e portando tutto a primo membro si ottiene: ax + by + c = 0, ovvero l'equazione della retta in forma implicita.

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