Come si risolvono le proporzioni con frazioni
Proporzioni con frazioni: ecco come si applica la proprietà fondamentale per trovare un termine ignoto della proporzione ed esercizio svolto e spiegato
Indice
Introduzione
Le proporzioni sono uno degli argomenti oggetto della matematica che vengono insegnate sin dalle scuole medie.
In questa guida, passo dopo passo, diamo tutte le indicazioni utili su come risolvere le proporzioni con le frazioni.
La procedura è senza dubbio abbastanza complessa e richiede un po' di tempo, ma con un po' di esercizio, sia in classe che a casa, sarà possibile apprenderla senza grosse difficoltà.
Occorrente
- Calcolatrice
- Libro di matematica
- Quaderno degli esercizi
Definizione di proporzione
Quando si parla di proporzioni, si intendono tutte quelle relazioni che coinvolgono quattro grandezze.
Ne consegue che una singola proporzione non è altro che un'uguaglianza fra il rapporto di due grandezze ed il rapporto fra altre due grandezze e che va di conseguenza a soddisfare alcune proprietà che consentono di effettuare i relativi calcoli con le quantità di riferimento.
Le normali proporzioni vengono scritte nella formula seguente: a : b = c: d (ovvero "a" sta a "b", come "c" sta a "d").
Questo tipo di espressione si dice dimostrata o proporzionale quando esiste il medesimo rapporto tra "a" e "b" e "c" e "d".
I quattro fattori vengono denominati "termini delle proporzioni", e nello specifico "a" e "d" sono detti "estremi", mentre "b" e "c" sono detti "medi".
La proprietà fondamentale delle proporzioni
Le proporzioni presentano alcune proprietà che è bene memorizzare per avere il lavoro semplificato al momento della risoluzione degli esercizi: tra queste, la più conosciuta e la più utilizzata in matematica è la "fondamentale".
Questa proprietà afferma che in una proporzione il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi.
Di conseguenza, per determinare un'incognita che ipotizziamo sia "a", sarà sufficiente andare a moltiplicare i 2 medi e dividere il prodotto per il termine noto "d" come asserisce la seguente formula: a = (b * c) / d.
Il concetto di proporzioni con frazioni
Dopo aver fatto chiarezza sul concetto di proporzioni, è ora possibile passare ad illustrare quelle che sono le proporzioni con frazioni, tenendo conto che il procedimento utilizzato è lo stesso di quello descritto in precedenza, con l'unica differenza che in questo caso i calcoli saranno leggermente più complessi proprio per la presenza delle frazioni.
Una proporzione per frazioni è quella in cui uno o più termini sono una frazione, ovvero contiene almeno una frazione al suo interno.
Ne consegue che più frazioni ci sono all'interno di una proporzione e più diventa complessa da risolvere, ecco perché è necessario dapprima esercitarsi su proporzioni che abbiano soltanto una frazione.
Il calcolo delle proporzioni con frazioni
Una volta appreso il concetto delle proporzioni con frazioni, è ora possibile andare a risolverne una che contenga delle frazioni.
Si deve tenere presente che si può inciampare in un piccolo tranello quando bisogna ricavare un termine ignoto: in questo caso ipotizzando che sia sempre "a" il termine che non conosciamo, dobbiamo ricordare che trattandosi di divisione tra frazioni, dopo aver moltiplicato i due medi, il numeratore e il denominatore dell'estremo devono essere invertiti e successivamente moltiplicati per il prodotto dei due medi.
Di regola, per andare a trovare il valore dell'incognita x di una qualsiasi proporzione che contenga frazioni, si deve sempre e comunque applicare la proprietà fondamentale, secondo la quale il prodotto dei medi deve uguagliare quello degli estremi.
Esempio
Ecco un esempio: nella proporzione x : 3/4 = 2 : 5/3 per ricavare x, una volta moltiplicati i medi otterremo che x = 6/4 diviso 5/3; dovremo quindi invertire 5/3 e avremo x = 6/4 * 3/5 = 18/20; che ridotto diventa 9/10.
Gli esercizi di proporzioni contenenti espressioni con frazioni
Una volta imparato a risolvere le proporzioni con frazioni, sarà possibile svolgere esercizi di proporzioni contenenti espressioni con frazioni.
La procedura, seppure complessa, prevede che si debbano prima di tutto svolgere a parte le operazioni di frazioni nel primo, nel secondo e nel quarto termine dell'espressione.
Risolvere quindi la differenza fra frazioni nelle parentesi tonde, successivamente andare a calcolare il prodotto fra frazioni e poi la differenza.
Calcolare a questo punto la somma fra frazioni nelle parentesi tonde, dividere le frazioni ed infine, per poter risolvere definitivamente l'espressione, non si dovrà fare altro che calcolare la già illustrata proprietà fondamentale delle proporzioni.