Come risolvere un problema con le proporzioni

Introduzione

In matematica, le proporzioni generalmente non sono altro che l'uguaglianza che si verifica tra due rapporti.

Per indicare una proporzione si utilizzata la formula "A : B = C : D" che viene letta come "A sta a B come C sta a D". I termini "A" e "D" rappresentano gli estremi e "B" e "C" i medi.

Tuttavia, le proporzioni hanno diverse proprietà; tra di esse di fondamentale importanza è quella del comporre e dello scomporre.

Continuate nella lettura di questo interessante tutorial dove verrà spiegato come si può risolvere, in modo semplice e veloce, un problema con le proporzioni.

Proporzionalità diretta

Nello svolgimento di un problema con una proporzionalità diretta sono necessari solo pochi minuti di attenzione per arrivare alla soluzione.

Facciamo un esempio: se un'impresa acquista 35 tonnellate di un prodotto e spende 28.000 euro, la domanda che bisogna porsi è quanto si sarebbe speso per un acquisto di 50 tonnellate di materiale.

Rileviamo già da subito che le due grandezze che vengono considerate, cioè il costo e la quantità che si acquista, sono direttamente proporzionali in quanto con l'aumento della prima cresce anche la seconda.

In questo caso il problema si deve risolvere impostando la proporzione 35 : 50 = 28.000 : X.

Per ricavare l'incognita si ha X = (28.000 * 50)/35; questa operazione darà come risultato 40.000.

Il problema si può anche risolvere con la seguente proporzione 35 : 28.000 = 50 : X, cioè ponendo a destra e a sinistra del segno di uguale la relazione tra quantità e prezzo.

Si può notare come in entrambi i casi l'incognita X viene individuata come il prodotto dei medi diviso l'estremo noto. Nulla impedisce di cambiare l'ordine dei termini, a patto che sussista sempre la relazione di proporzionalità delle coppie.

Potremmo scrivere infatti 28000 : 35 = X : 50 e il risultato finale non cambia. In questo caso X è data dal prodotto degli estremi diviso il medio e si ottiene X = (28.000 * 50)/35 = 40.000, proprio come nel calcolo precedente.

Proporzionalità inversa

Viceversa, un problema con una proporzionalità inversa è anche esso di facile risoluzione. La relazione di ugualianza però è definita da un prodotto a sinistra e a destra dell'uguale.

La peculiarità delle grandezze inversamente proporzionali infatti è che il loro prodotto è una costante.

La proporzione si scriverà dunque come: A * B = C * D.

Esempio. Se abbiamo una squadra di 12 operai che per eseguire un lavoro impiega complessivamente 480 ore, la domanda da farsi è quante ore di lavoro occorrono se gli operai sono 18.

In questo caso il problema ha una proporzionalità inversa in quanto le due grandezze prese in considerazione, cioè il numero di operai impiegati e il tempo procedono in senso opposto. Infatti, se aumenta la prima grandezza si riduce la seconda.

La proporzione da impostare in questo caso è la seguente: 12 * 480 = 18 * X ; da essa l'incognita si ricava in questo modo: X = (12 * 480)/18 = 320.

Il problema si può risolvere impostando anche una proporzione come rapporto a sinistra e a destra del segno di uguaglianza.

Bisogna prestare attenzione però ai termini: si inseriranno a sinistra dell'uguale i valori di tempo e a destra quelli del numero di operai, ad esempio 12 : 18 = X : 480 oppure 18 : 12 = 480 : X in modo tale che il rapporto delle due parti dell'uguaglianza risulti costante.

I problemi con una proporzionalità inversa si risolvono impostando una proporzione che uguaglia il rapporto tra i due valori della prima grandezza con gli altri due valori della seconda grandezza.

Altri esempi

Sono grandezze direttamente proporzionali la quantità di merce venduta e il ricavo che viene ottenuto dal commerciante, oppure il numero di ore di lavoro che vengono impiegate da un operaio ed il salario che egli percepisce o le ore di lavoro che effettua una macchina e i pezzi che da essa vengono prodotti.

Mentre per le proporzioni inverse un esempio è rappresentato dalla velocità di un autoveicolo e il tempo che esso impiega per percorrere un determinato tragitto.

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