Come risolvere un'equazione di terzo grado

Introduzione

Capita prima o poi di doversi misurare con un'equazione di terzo grado e di non capire come riuscire a risolverla. Scopriamolo insieme.

Prima di chiedersi "a cosa mi servirà mai nella vita saper risolvere un'equazione di terzo grado?", dobbiamo partire dal presupposto che le equazioni possono essere svolte senza troppe difficoltà, con molta calma e ripetere alcuni semplici passaggi.

Trovare i dividendi del termine noto

Un esempio di equazione di terzo grado è P(x): x³ + 4x² - 10x + 5 = 0. Quando ci troviamo di fronte un caso simile dobbiamo sapere che una delle regole che possiamo applicare è la cosiddetta "Regola di Ruffini".

Nell'equazione riportata, il valore 5 rappresenta il "termine noto" (cioè il numero privo della variabile x). Per procedere con la risoluzione bisogna trovare i dividendi del termine noto. Nel nostro caso, i dividendi del numero 5 sono: ±1 e ±5.

Collocare i coefficienti delle variabili in ordine decrescente

Sostituiremo questi dividendi nell'equazione: in questo modo riusciamo a trovare il valore (tra ±1 e ±5). Sostituendo il valore 1 alla x otterremo: P(1): 1 + 4 - 10 + 5 = 0 e cioè (svolgendo i relativi calcoli) 0 = 0.

Dopo andremo a collocare i coefficienti delle variabili in ordine decrescente in alto (il termine noto andrà posto a destra della seconda linea ortogonale).

Procedere con la somma algebrica

Ovviamente nel caso in cui avessimo avuto: P(x) = x³ - 10x + 5 avremmo inserito nella casella della variabile x² il coefficiente 0 in quanto la suddetta variabile non è presente.

Successivamente andremo a scrivere il valore che verifica l'equazione (x=1) in basso a sinistra. Moltiplicheremo quest'ultimo con il primo valore (1), il risultato (1) andrà sistemato sotto il valore 4.

In seguito procederemo con la somma algebrica che darà come risultato 5, il tutto ripetuto fino ad azzerare il termine noto.

A questo punto abbiamo ridotto il grado del polinomio; infatti possiamo scrivere: (x - 1)(x² + 5x + 5) = 0.

(N.B. Il valore che verifica l'equazione è x = 1 e non bisogna confonderlo con il -1)

Applicare la formula

Non ci resta per portare a termine l'esercizio che risolvere un'elementare equazione di secondo grado. La formula per trovare x (1,2) sarà: [-b± √(b²- 4ac)]/2a.

Nel nostro caso, si avrà x (1,2) = [-5±√(25 + 20]/2a. Così potremo avere le soluzioni x1 = 1, x2 = (-5 + 3√5)/2, x3 = (-5-3√5)/2.

Insomma, basta ricordare poche mosse e anche la risoluzione di un'equazione di terzo grado si rivelerà molto semplice.

Infine, è utile ricordare che esistono altre tecniche, ma devono verificarsi delle condizioni particolari. Invece, la risoluzione con il metodo di Ruffini è di facile applicazione e può essere sempre utilizzata.

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