Come risolvere le espressioni goniometriche

Di Redazione Studenti.

Come risolvere o semplificare le espressioni goniometriche: gli esempi e alcuni esercizi svolti e spiegati

Introduzione

Come risolvere le espressioni goniometriche
Come risolvere le espressioni goniometriche — Fonte: getty-images

Le formule goniometriche o trigonometriche spesso fanno parte di espressioni anche non lineari (cioè contenenti potenze e radici) e non omogenee. Ma niente paura, c'è un sistema per risolvere anche i casi apparentemente più ostici, o se non altro per restringere gli intervalli.

Vediamo insieme, in questa guida, come risolvere le espressioni goniometriche.

Espressioni lineari

Le espressioni lineari sono formate da combinazioni di costanti che moltiplicano funzioni trigonometriche, come 3 + cos(x) - tg(x) = 0.

In questi casi, conviene esprimere le varie funzioni trigonometriche presenti in funzione di una sola. Esistono delle formule che permettono di riscrivere le varie funzioni come tangenti a patto che l'angolo argomento non sia un multiplo intero di π.

Basta porre l'ipotesi e verificarla a posteriori e procedere a riscrivere il tutto in funzione di una sola variabile "t" che sta per tg(a/2) dove "a" non deve essere multiplo intero di π.

Nei formulari si trovano le espressioni. Le equazioni diventano quindi semplici funzioni polinomiali che si studiano coi metodi noti.

Poi si va a riportare la soluzione in t ad una in t = tg(a/2) che è di risoluzione immediata. Se però l'espressione iniziale è una trappola, nel senso che in realtà con semplici trasformazioni trigonometriche sarebbe possibile ricondurla ad un sistema più semplice se non addirittura banale, il primo passo è ovviamente quello.

Ricordate che le espressioni trigonometriche prevedono una scrittura particolare delle soluzioni, in base alla periodicità delle funzioni. Non sempre però la soluzione di un'espressione trigonometrica è periodica, per esempio nel caso delle funzioni miste.

Espressioni omogenee

Per espressioni omogenee si intendono tutte quelle in cui è presente un solo tipo di funzione trigonometrica, variamente declinata.

Si tratta di effettuare le opportune trasformazioni, applicando le varie formule di trasformazione delle funzioni trigonometriche per riportarle alla forma più semplice e studiare l'espressione per sostituzione, tramite la variabile ausiliaria "y" per esempio, che sostituisce l'espressione trigonometrica ricorrente.

La soluzione segue poi tutto il normale sviluppo relativo alle espressioni algebriche fino alla definizione delle soluzioni.

Queste ultime, poi vanno calcolate in base alle condizioni imposte dalla trasformante, quindi se per esempio y = cos(x) e y = 32 dal problema, avremmo che la nostra equazione trigonometrica non ha soluzione.

Esistono molte formule che ci aiutano a rendere omogenee le espressioni. Evitate le scorciatoie, come le formule di angolo aggiunto, se non siete effettivamente degli esperti di trigonometria, perché rischiereste di peggiorare di molto la difficoltà del problema.

Espressioni miste

Esiste infine un'ultima categoria di espressioni che coinvolgono le funzioni trigonometriche, quelle miste, cioè che contengono anche elementi algebrici.

Le espressioni miste, per esempio cos(x) = x + 5, si risolvono per scomposizione in sistemi e via grafica. Per prima cosa si riportano tutti i termini trigonometrici e le eventuali costanti utili a sinistra, mentre a destra (va bene anche invertire le parti) si mettono i termini algebrici, come riportato nella funzione d'esempio.

A questo punto si trasforma l'espressione in un sistema di due equazioni nel nostro caso y = cos(x) e y = x + 5.

Si studiano le due espressioni a parte, tracciandone il grafico nella maniera più accurata possibile, cercando di partire da quello della parte trigonometrica, che tipicamente è la più vincolante.

Si traccia poi il grafico della parte algebrica e li si sovrappone cercandone le intersezioni. In casi fortunati le soluzioni si trovano in punti di facile calcolo, altrimenti si deve usare un metodo iterativo, cercando di restringere l'intervallo dei valori che contenga l'effettiva soluzione.

Ricordate che le soluzioni per funzioni miste non sono quasi mai periodiche, verificate le condizioni prima di scriverle.

Il metodo iterativo è tipicamente ingegneristico, dove la soluzione esatta non è rilevante, perché il problema è comunque affetto da errori legati alle approssimazioni di misura ed è sufficiente restringere gli intervalli per verificare che ci troviamo in condizioni di sicurezza soddisfatte.