Come razionalizzare una frazione

Introduzione

La razionalizzazione è un procedimento molto utile in matematica, poiché permette di semplificare molte operazioni eliminando i radicali algebrici, in quanto dividere per un numero irrazionale porta a un calcolo piuttosto complesso. E’ possibile razionalizzare moltiplicando il numeratore e il denominatore della frazione con un preciso fattore. Vediamo i punti essenziali per sapere come svolgere tale operazione.

Occorrente: carta, penna e calcolatrice.

Come razionalizzare una frazione

La razionalizzazione è un processo per semplificare alcune operazioni, ma molto spesso è difficile da applicare se non si ricordano alcune semplici formule. La razionalizzazione si usa principalmente per semplificare un denominatore, ma sorgono alcuni casi in cui conviene semplificare il numeratore (ad esempio nelle operazioni con i limiti).

Questa operazione è più rara ma altrettanto indispensabile in analisi per risolvere alcune operazioni indeterminate. Il caso più semplice che prenderemo in esame è: b/√a.

L’operazione per la razionalizzazione è molto semplice, basta, infatti, moltiplicare il denominatore e il numeratore per la radice quadrata di a. In questo caso otteniamo come risultato: b * √a/a. Come possiamo vedere la radice al denominatore è stata semplificata.

Esempio

Osserviamo ora un caso un po’ più complicato, in cui non abbiamo una radice quadrata. Avremo perciò b fratto radice ennesima di a elevato alla m, in cui la radice deve avere maggior valore dell’elevamento a potenza.

In questo caso, il fattore che razionalizza sarà radice ennesima di a elevato alla n meno m. Avremo come risultato b per radice ennesima di a elevato a n meno m fratto radice ennesima di a elevato a n; avendo la radice lo stesso valore dell’elevamento a potenza si semplifica ottenendo b per radice ennesima di a elevato a n meno m fratto a.

Quando ci troviamo di fronte a una somma o differenza di radicali quadratici basta ricordarsi le principali regole matematiche come il prodotto notevole: (a + b) * (a - b) = a² - b².

Conclusione

Quindi per razionalizzare una frazione del tipo c/√a + o√b, il fattore razionalizzante sarà √a/√b * √a + √b. Il risultato ottenuto sarà c * √a + o√b/a - b.

Stesso procedimento si deve svolgere con le radici cubiche ricorrendo in questo caso alla formula del prodotto notevole.

Quindi, se avremo c fratto radice cubica di a + o - radice cubica di b, il fattore razionalizzante sarà radice cubica di a alla seconda + o - radice cubica di a per b + radice cubica di b alla seconda.

Consigli

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