Come disegnare il grafico di una funzione esponenziale
La funzione esponenziale: la guida completa con definizione, il dominio, le caratteristiche e il metodo spiegato per rappresentarla graficamente
Indice
Introduzione
Una funzione esponenziale è un numero che viene elevato a potenza, partendo da una base che è un numero e che spesso è costituita dalla così detta base naturale o numero di Eulero (e).
Si possono studiare funzioni esponenziali con base ed esponente arbitrario, e ambedue possono essere a loro volta funzioni.
In questa guida ci limiteremo a studiare come tracciare il grafico di una funzione esponenziale "semplice" del tipo f(x) =e^x, che è alla base del metodo da applicare per disegnare funzioni molto più articolate.
Il numero di Nepero (o Eulero)
Il numero di Nepero "e" non è l'unica base possibile per una funzione esponenziale, ma gode di una posizione peculiare fra i numeri reali, perché è ricorrente in moltissime applicazioni.
Le funzioni trigonometriche ordinarie e iperboliche sono, per esempio, rappresentate come somme e rapporti di esponenziali complessi, così come moltissimi comportamenti fisici.
Il numero e a quanto pare è fondamentale per l'universo, ma ha un valore difficile da scrivere: e = 2,71828 18284 59045 23536…
Si tratta di un numero irrazionale, che si trova con una funzione trascendente e che quindi non è possibile scrivere compiutamente. Ciò nonostante è indispensabile e viene usato continuamente in miliardi di applicazioni ogni giorno.
Il dominio della funzione
La funzione esponenziale ordinaria f(x)=e^x ha dominio su tutti i reali, ossia non esiste un numero reale per il quale la funzione non assume un valore reale.
Si tratta anche di una funzione illimitata a destra, il che significa che calcolandone il limite per x che tende all'infinito, si ottiene un numero che tende all'infinito.
A sinistra, invece, la funzione tende a zero, ossia calcolandone il limite per x che tende a meno infinito, f(x) tende a zero. Tende ma non si annulla: l'equazione e^x = 0 non ha radici reali o complesse.
Interpretando l'elevamento a potenza come una forma per il prodotto, poi e^x calcolato per x = 0 restituisce 1 come valore e questa condizione vale a prescindere dalla base.
Infatti, bᴼ con b reale o complesso qualsiasi vale sempre 1 per definizione.
Abbiamo quindi trovato il comportamento della funzione in tre zone, ossia gli estremi destro e sinistro e lo 0. Dobbiamo adesso passare allo studio nel resto del dominio.
Ricerca di massimi, minimi e flessi
Se la funzione esponenziale è ordinaria f(x) = e^x, è infinitamente derivabile con derivata non nulla su tutto il domino ed uguale alla funzione stessa. Anche l'integrale della funzione è uguale a e^x a meno ovviamente del termine costante.
Questa proprietà, unita alla mancanza di radici, ci fornisce alcune indicazioni importanti: e^x non ha massimi, minimi, punti di flesso e altri punti legati alle derivate di ordine n-mo. È monotona crescente, non cambia, cioè, concavità in nessun punto.
Essendo monotona crescente e senza radici non cambia mai di segno ed è anche sempre positiva, perché il segno della base è positivo.
Se la base fosse negativa, ovviamente il grafico sarebbe lo stesso riflesso rispetto all'asse x. La concavità della f(x) è sempre rivolta verso l'alto per base positiva.
