Come disegnare il grafico di una disequazione

Introduzione

La matematica rappresenta una materia scolastica non proprio entusiasmante per molti alunni. Seguendo però attentamente le lezioni fin dalla scuola elementare, questa scienza potrebbe rivelarsi veramente interessante da conoscere.

Quando si arriva alle scuole superiori, uno dei primi argomenti trattati, subito dopo le equazioni, è quello relativo alle disequazioni.

Si tratta sostanzialmente di una disuguaglianza che si riscontra in due espressioni algebriche contenenti delle incognite.

La risoluzione di una disequazione prevede l'impiego del medesimo procedimento adottato per il calcolo delle equazioni. Una volta ottenuto il risultato di una disequazione si passa alla sua rappresentazione grafica.

Qui di seguito ci soffermeremo proprio su questo procedimento. Andiamo dunque a scoprire come disegnare il grafico di una disequazione. Incontreremo diverse categorie di disuguaglianza tra espressioni algebriche e analizzeremo i passaggi utili a disegnare ciascuna di queste tipologie.

Seguire le regole generali sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

Per rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione esistono alcuni standard da seguire. Innanzitutto possiamo utilizzare l'intervallo numerico oppure il piano cartesiano.

Per quanto riguarda l'intervallo numerico, ci servirà semplicemente una linea orizzontale, entro la quale vengono inclusi tutti i numeri che si trovano prima e dopo lo zero. L'intervallo numerico rappresenta tutti i valori compresi tra due numeri a e b, che ne costituiscono gli estremi.

Partendo dal centro della linea, si considera lo zero come il punto intermedio. Procedendo dal centro verso destra, avremo tutti i numeri compresi tra 0 e + ∞ (più infinito). Se invece ci spostiamo dal centro verso sinistra, i numeri da considerare vanno da 0 a - ∞ (meno infinito).

Sfruttando la linea numerica, ricaviamo gli intervalli dalle soluzioni delle disequazioni. A tal proposito, si utilizzano alcuni segni specifici, come la linea continua per i valori che soddisfano la disequazione e quella tratteggiata per i valori che invece non la soddisfano.

Per indicare un valore compreso tra le soluzioni, utilizzeremo un cerchietto pieno. Per escluderlo, invece, ricorreremo al cerchietto vuoto.

Analizzando un intervallo numerico, diremo che ne esistono due tipi. Avremo pertanto un intervallo aperto se gli estremi risultano esclusi, altrimenti si parlerà di intervallo chiuso. Per indicare un intervallo in cui uno o più estremi risultano inclusi, utilizzeremo le parentesi quadre, altrimenti ci serviranno quelle tonde.

Fatta questa premessa sugli intervalli numerici, andiamo a vedere come si disegnano le soluzioni delle varie disequazioni sul piano cartesiano.

Realizzare il grafico di una disequazione con una variabile priva di termini di secondo grado

Disegnare il grafico di una disequazione è abbastanza semplice, una volta individuata la tipologia di espressione che stiamo risolvendo.

Iniziamo da una categoria che si incontra molto spesso, ossia una disequazione che presenta una variabile priva di termini di secondo grado.

Quando incontriamo questo tipo di espressione, dobbiamo sapere che il grafico rappresentato sul piano cartesiano corrisponde a quello di una curva. Essa suddivide il piano in due parti e per ottenerla dobbiamo prima esplicitare la variabile priva di termini di secondo grado.

Ad esempio, se la variabile priva di termini di secondo grado è la x, otterremo due differenti soluzioni. Ne deduciamo quindi che x sarà maggiore o minore rispetto a f(y).

Nel primo caso, la porzione di piano cartesiano di nostro interesse sarà quella posta a destra della curva, se invece si tratta della porzione di sinistra, allora vuol dire che x è minore di f(y).

Supponiamo ora di avere la y come variabile priva di termini di secondo grado. In tal caso avremo comunque due alternative. La y sarà maggiore oppure minore rispetto a f(x). Nel primo caso la porzione di piano si troverà sopra la curva, altrimenti sotto.

Esistono poi dei casi particolari, ossia quelli di x o y che sono maggiori o uguali oppure minori o uguali rispettivamente a f(y) e f(x).
Quando arriviamo alla rappresentazione grafica di una disequazione con soluzioni di maggiore o uguale e minore o uguale, dobbiamo includere la curva.

Riassumendo, se la curva risulta inclusa l'intervallo verrà disegnato con una linea continua, se invece essa risulta esclusa (come nei primi esempi che abbiamo fatto), allora si userà la linea tratteggiata.

Rappresentare graficamente una disequazione con curve chiuse

Passiamo ora alle regole con cui potremo disegnare il grafico di una disequazione con curve chiuse. In tal caso otterremo il grafico di un'ellisse oppure di una circonferenza. Anche qui possiamo fare riferimento ai segni di maggiore e minore.

Per rappresentare le disequazioni di curve chiuse come la circonferenza e l'ellisse, teniamo conto del fatto che una soluzione maggiore di 0 o di qualunque altro valore implica che la porzione di piano cartesiano da considerare sarà esterna alla curva, se invece la soluzione risulterà minore, allora si parla di una porzione di piano contenuta nella curva in questione.

Ricordiamoci, anche in questo caso, che in presenza di termini maggiori o uguali e minori o uguali, la linea va disegnata continua perché include la curva, altrimenti ricorreremo a quella tratteggiata.

Ricavare il grafico delle soluzioni di una disequazione con iperbole

Restando in tema di disequazioni il cui grafico è una curva, analizziamo la procedura per disegnare il grafico di una disequazione con iperbole. Come sappiamo, quest'ultima è una doppia curva aperta composta da due diversi rami.

Quando risolviamo una disequazione di questo tipo dobbiamo sempre considerare il termine noto come il secondo membro dell'espressione; l'incognita sarà invece il primo membro.

La disequazione f(x,y) assumerà quindi quattro diversi orientamenti grafici a seconda del suo essere maggiore o minore rispetto al termine noto "a".

Disegnare sul piano un sistema di disequazioni

Solitamente, oltre a disegnare il grafico di una disequazione, ci si occupa anche della rappresentazione grafica di un sistema di disequazioni.

Supponiamo di avere un sistema di quattro disequazioni. In tal caso, dovremo iniziare col risolvere ogni singola espressione. Una volta ottenute le soluzioni, passeremo alla loro rappresentazione grafica sul piano cartesiano.

Quando risolviamo degli esercizi inerenti ai sistemi di disequazioni, dobbiamo rappresentare separatamente ogni espressione. Quando avremo riportato le soluzioni del sistema, noteremo eventuali intersezioni nel piano.

L'intersezione ricavata costituirà la soluzione del sistema, quindi verrà identificata con una formula.

Come possiamo notare, la risoluzione di un sistema di disequazioni si compone di tre passaggi, in cui si alternano calcolo e disegno. Il disegno in questo frangente ci aiuta a localizzare la soluzione del sistema. Quindi è importante eseguirlo in modo corretto, lasciando per ultimo il calcolo della soluzione del sistema.

Consigli

• Ripassa gli insiemi numerici per identificare meglio il dominio al quale appartengono le disequazioni.
• Svolgi gli esercizi di vario tipo per tutte le categorie di disequazioni.
• Utilizza le penne di diversi colori per i vari segni grafici. In questo modo si apprenderanno più facilmente le regole per un disegno corretto delle soluzioni.
• Fate un piccolo schema dei segni usati per la rappresentazione grafica delle soluzioni da tenere sempre a portata di mano quando ci si esercita.

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