Come dimostrare che la radice di 3 è irrazionale

Di Redazione Studenti.

Perché la radice di 3 è un numero irrazionale? Come si dimostra? Ecco la guida che ti spiega la dimostrazione con alcuni facili esempi

Introduzione

Come dimostrare che la radice di 3 è irrazionale
Come dimostrare che la radice di 3 è irrazionale — Fonte: getty-images

La parte più noiosa e complicata del mondo matematico è sicuramente quella delle dimostrazioni. Molte di queste sono assai complesse e poco chiare, in certi casi, anche per i professori.

Le dimostrazioni sono l'incubo degli studenti del liceo scientifico o dell'istituto tecnico commerciale, poiché possono creare molti problemi nelle interrogazioni.

Se da un lato le dimostrazioni matematiche si possono ritenere complicate, dall'altro sono necessarie anche per confermare i calcoli più banali.

In questa guida ci occuperemo di come dimostrare che la radice di 3 è un numero irrazionale. In questo caso si tratta di una dimostrazione abbastanza semplice che non ci richiederà moltissimo tempo.

Dimostrare che la radice di 3 è irrazionale sarà un gioco da ragazzi per chiunque abbia un minimo di conoscenze matematiche. Per chi, invece, è digiuno della materia consigliamo la lettura di questa veloce spiegazione.

I numeri irrazionali

Cos'è un numero irrazionale? Nell'insieme di questi troviamo quei numeri decimali illimitati non periodici, che non è possibile esprimere sotto forma di frazione. La radice di 3 rientra in questo gruppo.

Procediamo ora con la prima regola matematica da conoscere per la dimostrazione. Se eleviamo una radice al quadrato, la radice scompare e ci rimane il numero sotto radice.

Ad esempio, elevando la radice di 3 al quadrato si ottiene 3.

Le dimostrazioni per assurdo

Le dimostrazioni per assurdo sono le più applicate in matematica. Questo metodo però non limita il suo impiego ai soli numeri, ma lo si può trovare anche in altri ambiti, come la filosofia.

Il procedimento in questione ha come obiettivo quello di dimostrare che assumendo come vera una data ipotesi, si va incontro ad una contraddizione logica. Di conseguenza, la proposizione presa in analisi è falsa.

In questo caso noi cercheremo di dimostrare che la radice di 3 è razionale. Andando avanti con il procedimento, però, ci accorgeremo che ciò è falso.

Per questo arriveremo a dire che, quindi, essa è un numero irrazionale, secondo la legge del terzo escluso.

Impostazione della dimostrazione

Per dimostrare che la radice di 3 è un numero irrazionale partiamo da un'ipotesi di fondo.  Si immagina che esistano due numeri, che noi chiameremo a e b, il cui rapporto è uguale proprio alla radice di 3.

Abbiamo visto che un numero irrazionale non si può rappresentare sotto forma di frazione. Per questo si parte dall'ipotesi che la radice di tre non lo sia e si uguaglia ad una frazione.

Adesso eleviamo tutto al quadrato. A questo punto, grazie alla regola spiegata nel passo precedente, noteremo che la radice di 3 è sparita e che al secondo membro dell'uguaglianza abbiamo soltanto 3.

Dall'altra parte dell'uguale, a e b, invece, saranno sempre un rapporto, ma entrambi elevati al quadrato.

Per dimostrare che la radice di 3 è un numero irrazionale dobbiamo fare un ultimo passaggio, cioè dobbiamo capire se la nostra affermazione iniziale sia veramente assurda.

Assurdità della dimostrazione

Come spiegavamo nel passo precedente, ora dobbiamo dimostrare che l'uguaglianza ottenuta è assurda. Questo non avverrebbe solo se fosse un multiplo di 3.

Per confermare l'uguaglianza i due numeri, a e b, scomposti dovrebbero contenere il 3 o un numero di volte dispari o pari entrambi. Ciò però è impossibile.

Prendiamo il nostro rapporto con a²/b²= 3. Svolgendolo possiamo arrivare a dire che a² = 3*b².

In questo caso, a e b, presi a caso tra i numeri, non avranno in alcun caso il tre come divisore o entrambi un numero pari volte o entrambi un numero dispari di volte.

Questo succede perché si moltiplica per 3 una volta in più dell'altro, come dimostra l'uguaglianza. Tutto questo illustra che tale uguaglianza è assurda. Di conseguenza, possiamo dedurre che la radice di 3 è un numero irrazionale.

Consigli

Non dimenticare mai:

  • di ripassare le proprietà delle radici e delle potenze;
  • di esercitarvi con la stessa dimostrazione anche su altri numeri irrazionali.

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