Come determinare l'equazione della circonferenza passante per due punti

Introduzione

Per determinare le equazioni di tutte le circonferenze passati per due punti in comune tra loro, occorrerà partire dalle conoscenze base sulle circonferenze e sul piano cartesiano.

Vediamo dunque come si fa, partendo da un esempio specifico di esercizio che dimostri l'applicazione della regola generale sulle equazioni di circonferenza.

Occorrente

• Riproduzione di un piano cartesiano
• Calcolatrice
• Foglio di prova
• Libro di algebra

Analizzare i concetti di raggio e circonferenza

Prima di calcolare le equazioni in oggetto, è assolutamente necessario conoscere quali siano le formule generali sulla circonferenza.

Va quindi rammentato che questa figura geometrica è definibile come il luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro. Ciò sta a significare che tutti i punti di tale figura geometrica hanno la caratteristica di avere la medesima distanza dal centro (che si definisce raggio).

Dunque, il centro e il raggio rappresentano i due elementi principali della circonferenza e che sono assolutamente da conoscere quando ci si approssima a calcolare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti.

Utilizzare la formula di equazione

Calcolare l'equazione della circonferenza per due punti non risulta essere un calcolo particolarmente difficile. È tuttavia indispensabile porre molta attenzione a come si svolge il sistema di equazioni a tre incognite.

Tutti i calcoli andranno svolti con attenzione, in quanto basterà un solo segno sbagliato per condurre l'intero sistema ad ottenere soluzioni errate o addirittura impossibili.

Vediamo ora come procedere.

Per prima cosa è bene sapere in che modo riconoscere ogni componente di un'equazione di circonferenze nel piano cartesiano.

Questi elementi, per quanto differenti potranno sembrare, possono essere generalmente indicati con la seguente formula di equazione: x² + y² + ax + by + c = 0.

Andiamo quindi a sfruttare questa nozione nel passaggio successivo.

Creare il sistema di equazioni generiche

Considerando il piano cartesiano come un insieme di tutti i punti che lo compongono, aventi coordinate (x, y), dobbiamo trovare una condizione per la quale tutte le circonferenze passino per due punti di questa tipologia.

I passaggi sono semplicissimi.

Appuntiamoci su carta le coordinate dei due punti che chiameremo P e Q.

Creiamo un sistema tra due equazioni generiche x² + y² + ax + by + c = 0 uguali.

Nella prima sostituiamo i valori di x e di y di P. Nella seconda sostituiamo i valori di x e y di Q. Troveremo due valori di "a" e di "b" in funzione del parametro c.

Adesso sarà davvero semplice risolvere il problema. Infatti, non abbiamo fatto altro che generare un fascio di circonferenze passanti proprio per i due punti iniziali.

Ora passiamo ad un semplicissimo esempio per capire meglio quanto appena detto.

Effettuare il calcolo delle equazioni di circonferenza

Ipotizziamo che in un esercizio vi venga chiesto di determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti.

Ovviamente sarà l'esercizio a darvi le coordinate di questi due punti. Avendo i valori di x e di y di entrambi i punti, seguiamo tutti i passaggi descritti.

Se abbiamo due punti: A (-3; 1) e B (1; 1), abbiamo rispettivamente le loro coordinate x e y. Scriviamo ora un sistema di due equazioni generiche di circonferenze e procediamo al passaggio successivo:

{x² + y² + ax + by + c = 0

{x² + y² + ax + by + c = 0.

Avendo questo sistema, indichiamo la prima equazione con una A e la seconda con una B per non confonderci:

A {x² + y² + ax + by + c = 0

B {x² + y² + ax + by + c = 0.

Prendiamo le coordinate x e y di A e le sostituiamo alla prima equazione, in questo modo:

A {10 -3a + b= -c

B {x² + y² + ax + by + c = 0.

Eseguiamo ora lo stesso procedimento con la seconda equazione:

A {10 -3a + b = -c

B {2 + a - b = -c.

Adesso prendiamo in evidenza i parametri "a" e "b" e risolviamo il sistema ottenendo:

A {a = 6 + c

B {b =2c + 4.

Ora creiamo una nuova equazione di circonferenza sostituendo i nuovi valori di "a" e "b":

x² + y² + x (6 + c) + y (2c + 4) + c = 0.

Avremo così ottenuto le equazioni richieste.

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