Come calcolare le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

Di Redazione Studenti.

Proiezioni dei cateti sull'ipotenusa in un triangolo rettangolo: come si trovano? Ecco come fare il calcolo con i teoremi di Euclide e il teorema di Pitagora

Introduzione

Come calcolare le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa
Come calcolare le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa — Fonte: getty-images

La trigonometria è una branca della matematica che, come si può intuire facilmente dal nome, ha come oggetto di interesse principale i triangoli e le relazioni che intercorrono tra i loro lati ed i loro angoli. Si affronta in quasi tutte le scuole ed è estremamente importante poiché da essa derivano una serie di formule che tornano poi utili in altre discipline matematiche, motivo per cui è importante comprenderne a fondo i concetti principali.

Tra tutte la varie tipologie di triangoli, ne esiste una in particolare che gode di importanti proprietà matematiche: il triangolo rettangolo. I suoi lati possiedono anche dei nomi specifici, vista la loro importanza: viene infatti definito cateto ciascuno dei due lati a ridosso dell'angolo retto mentre quello che risulta essere situato precisamente all'opposto assume la denominazione di ipotenusa.

Sappiamo poi che a questa figura geometrica è applicabile il teorema di Pitagora, per trovare un lato nota la misura degli altri due.

Ma come si può calcolare invece la proiezione dei cateti sull'ipotenusa? Si hanno a disposizione sostanzialmente tre vie. Continuate, quindi, a leggere questa breve ed utile guida per apprendere in modo piuttosto semplice come eseguire questo calcolo.

Occorrente:

  • Libro di matematica.

Utilizzare il primo teorema di Euclide

Il primo metodo prevede l'utilizzo del primo teorema di Euclide. Esso afferma che in ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

Prendiamo come esempio un triangolo ABC, dove BC è l'ipotenusa, AB è il cateto minore e AC è il cateto maggiore.

Secondo il teorema, ogni cateto (quindi sia AB che AC) è medio proporzionale tra ipotenusa e proiezione. Quindi, supponendo di tracciare l'altezza AH impostiamo la proporzione che in questo caso risulterà: BC: AB = AB: BH.

Per calcolare BH ci basterà fare AB² \ BC (basta infatti risolvere il calcolo applicando le proprietà delle proporzioni).

Utilizzare il secondo teorema di Euclide

Euclide ha però formulato anche un secondo teorema che torna utile con questo scopo: esso afferma che l'altezza di un triangolo rettangolo è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti.

Tenendo come esempio il triangolo ABC, citato nel precedente passo, e impostando la proiezione, abbiamo che: BH: AH = AH: HC, dove BH e HC sono le proiezioni dei cateti e AH l'altezza del triangolo.

L'applicazione di questo teorema risulta un po' più macchinosa del precedente in quanto è meno immediata: spesso entrambe le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono delle incognite e non è quindi possibile risolvere subito la proporzione.

Nel caso in cui una delle due proiezioni fosse nota, tuttavia, trova un ottimo campo di applicazione.

Utilizzare il teorema di Pitagora

Infine, l'ultima alternativa si basa sullo sfruttare uno dei teoremi più conosciuti e utilizzati in ambito matematico: il teorema di Pitagora. Esso afferma che in un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma del quadrato dei cateti.

In questo caso è inoltre opportuno precisare anche una proprietà dell'altezza dei triangoli: essa è perpendicolare all'ipotenusa, dunque divide a sua volta il triangolo in due triangoli rettangoli più piccoli, aventi un cateto rappresentato dalla proiezione dei cateti del triangolo maggiore sull'ipotenusa.

Tornando quindi al triangolo ABC e conoscendo, ad esempio, la misura del cateto AB e la misura dell'altezza AH sarà dunque facile calcolare la proiezione del cateto BH applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABH.

Consigli

Non dimenticare mai:

  • Osservare bene i dati a disposizione in modo da capire quale teorema applicare.

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