Come calcolare la divergenza di una funzione
La divergenza di una funzione: cos'è, come si calcola ed esempi pratici. Spiegazione dettagliata dei campi vettoriali
Indice
Le funzioni in più variabili
La prima cosa da fare per calcolare la divergenza di una funzione è comprendere cosa sia una funzione in più variabili e come si calcolino le derivate parziali. È utile quindi ripassare brevemente questi due concetti. Iniziamo con il dire che una funzione in "n variabili" è una mappatura da Rⁿ in R. In altre parole, dati valori differenti, la funzione ne restituisce uno solo.
Per fare un esempio: nel caso in cui n = 2, allora R² rappresenta il piano dei numeri reali. Una funzione di due variabili potrebbe essere, ad esempio: F (x, y) = x² + y² + 2x * y². Se quindi intendete calcolarla nel punto (1,3), allora avrete F (1,3) = 1² + 3² + 2 * 1 * (3²) = 1 + 9 + 18 = 28.
La derivata parziale
La derivata parziale rispetto a x, non è altro che la derivata passante tra le altre variabili (y, z,...) come delle costanti. Premesso ciò, per calcolare la derivata parziale rispetto a x della funzione F la indicheremo come dF/dx. A questo punto eseguiamo separatamente le derivate su ogni termine (perché la derivata è la somma delle altre derivate) in modo che la formula risulti la seguente: la derivata di x² è 2x; di y² è 0 (perché la variabile x non compare); di 2x * y² è 2y² (perché la derivata di 2x è 2, e y è come una costante).
Come determinare la divergenza in un punto
Ora vediamo come determinare la divergenza prima in generale e poi con due esempi. Per iniziare con il primo e supponendo di avere una funzione F in n variabili che chiamiamo x1, x2, ..., xn la divergenza va calcolata in un punto e non è altro che la somma delle derivate parziali conteggiate proprio in quel punto stesso. Volendo adesso enunciare la formula avremo: div (F) = dF/dx1 + dF/dx2 + ... + dF/dxn.
Il secondo esempio è dato invece dalla funzione F (x, y, z) = 3x² + log (z) -y * z³. Prima di tutto calcoliamo le derivate parziali: dF/dx = 6x; dF/dy = -z³; dF/dz = 1/z - 3y * z²; ricordandoci le regole del passo 1 il cui logaritmo è 1/z.
Se vogliamo adesso calcolare la divergenza nel punto (3,1,2) sarà: divF (3,1,2) = dF/dx (3,1,2) + dF/dy (3,1,2) + dF/dz (3,1,2) = (6*1) + (-2³) + (1/2 -3*1*2²) = 6 - 8 + 1/2 -12 = -14 + 1/2 = -27/2.
Applicare le equazioni di Maxwell
A margine di questa guida, è importante sottolineare che la divergenza consente di trasformare un vettore in uno scalare. In particolare, in un campo vettoriale in cui la divergenza è nulla, si parla di campo solenoidale. Un esempio di questo è il campo magnetico B, nel quale la divergenza è anch'essa nulla, come si evince dall'applicazione delle equazioni di Maxwell.