Come calcolare l'equazione di una retta perpendicolare ad una retta data

Introduzione

La geometria analitica studia le equazioni delle curve e la loro rappresentazione sul piano. Per molti può apparire una materia ostica, ma in realtà è governata da pochissime regole. In geometria piana si definiscono perpendicolari due rette complanari che intersecandosi formino fra di loro quattro angoli retti, ossia di 90°. Come per le rette parallele, si tratta di un caso particolarmente fortunato e di facile verifica. Due rette fra loro perpendicolari godono di proprietà nella forma che le rendono facili da riconoscere in via analitica.

Con questa guida forniremo i due metodi più diffusi che consentono di calcolare l'equazione di una retta perpendicolare ad una retta data, cioè il calcolo esplicito e quello matriciale.

Calcolo con la forma esplicita

I problemi geometrici che richiedono di individuare una retta perpendicolare ad un'altra forniscono generalmente due informazioni essenziali: l'equazione esplicita della retta data che è del tipo y = mx + q e le coordinate del punto attraversato dalla retta perpendicolare ossia il punto di intersezione.

Nell'equazione generale di una retta, m è detto coefficiente angolare e q è l'ordinata all'origine, ossia il punto di intersezione con l'asse y. Il coefficiente angolare determina la pendenza della retta rispetto all'asse x.

Grazie ai postulati di Euclide sappiamo che per un punto qualsiasi passano infinite rette. L'approccio di base si fonda quindi sulla definizione di fascio di rette passanti per un punto.

Il calcolo si effettua semplicemente determinando come primo passo il valore di m, la retta perpendicolare avrà un coefficiente angolare m1 che si ricava semplicemente dalla relazione: m1 = - 1/m.

Due rette perpendicolari quindi hanno coefficienti angolari che sono uno l'antireciproco dell'altro.

Terminare il calcolo

Avendo determinato il coefficiente angolare non ci resta che porre la condizione di intersezione. Il punto A = (x1, y1) attraversato da ambedue le rette ci fornisce la soluzione. A questo punto si deve semplicemente porre:

y1 = m1 · x1 + b

da cui si ricava facilmente il termine noto b relativo alla seconda retta. Una volta trovati i dati basta esplicitare l'equazione nella forma:

y = m1 · x + b

e concludere il problema scrivendo l'equazione proprio nella forma esplicita per poterla utilizzare agevolmente in fasi successive.

Calcolo con le matrici

Il calcolo effettuato con l'uso delle matrici è leggermente più avanzato di quello algebrico, ma ha una diffusione molto alta in campo tecnico ingegneristico, perché permette di trattare grossi sistemi quasi come comuni equazioni. Di conseguenza, iniziare a familiarizzare con questo metodo permette di comprendere ad un livello superiore la matematica e con il tempo di alleggerire notevolmente il peso del calcolo.

Per trovare l'equazione della retta perpendicolare a quella data e passante per un punto è sufficiente impostare il sistema formato dalle rette:

y = m · x + q

y = m1 · x + b

A questo punto si calcola il determinante della matrice associata che contiene in prima colonna i coefficienti angolari e in seconda i termini noti. Calcolando il determinante avremo una forma del tipo:

Det {M} = m · b – q · m1

Det {M} = 0 è la condizione di ortogonalità, dalla quale si ricavano le relazioni fra i coefficienti.

Sarà poi necessario imporre il passaggio per il punto A per avere il risultato.

All'apparenza il calcolo sembra peggiore del metodo con le forme esplicite, ma in realtà è semplicissimo da estendere a rette in N dimensioni trattandole quasi come rette nel piano.

Consigli

Non dimenticare mai:

• Quando analizzate una retta, ricordate che la sua parallela avrà lo stesso coefficiente angolare.
• L'uso della tecnica matriciale consente anche la verifica del parallelismo.

Alcuni link che potrebbero esserti utili:

• Come trovare il punto di intersezione tra due rette perpendicolari

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