Come calcolare l'altezza di una piramide quadrangolare

Di Redazione Studenti.

L'altezza di una piramide a base quadrangolare: le formule dirette e inverse per calcolare l'altezza di questa figura geometrica. Spiegazione teorica ed esempio

Introduzione

Come calcolare l'altezza di una piramide quadrangolare
Come calcolare l'altezza di una piramide quadrangolare — Fonte: getty-images

La geometria si occupa principalmente dello studio delle figure geometriche, tra queste viene spesso affrontata la piramide, ovvero un solido costituito da un poligono di base e numerosi triangoli indipendentemente dai lati del poligono di base. Quest'ultimi si congiungono in un punto denominato vertice.

Il quadrilatero rappresenta un poligono avente quattro vertici, altrettanti lati e quattro angoli interni. Bisogna ricordarsi che la piramide ha quattro dimensioni: il lato del poligono di base, l’altezza, l’apotema di tutta la figura geometrica e l’apotema di base.

In funzione del numero dei lati di base, la piramide può risultare triangolare, quadrangolare, pentagonale, esagonale, ottagonale e così via. All'interno di questa guida vediamo esaustivamente come calcolare l'altezza di una piramide quadrangolare.

Conoscere il volume e l'area di base della piramide

Innanzitutto, bisogna fornire qualche delucidazione utile relativa alla modalità per calcolare l'altezza di una piramide quadrangolare.

L'area della superficie laterale (Al) di una piramide retta viene determinata prima di tutto facendo la moltiplicazione fra la lunghezza del perimetro di base (p) e la lunghezza dell'apotema (a). Successivamente occorre dividere il risultato ottenuto da tale prodotto per due.

Per apotema si intende il raggio della circonferenza inscritta nella piramide quadrangolare e risulta uguale alla lunghezza del segmento unente il centro della piramide alla sua proiezione ortogonale in qualunque lato della figura geometrica stessa.

Aggiungendo l'area di base della piramide (Ab) a quella della superficie laterale è possibile ricavare l'area della superficie totale (At).

Una piramide risulta equivalente alla terza parte di un prisma avente la base equivalente a quella della piramide e la medesima altezza.

Per questo motivo, il volume della piramide (V) corrisponde ad un terzo di quello del prisma. Di conseguenza, il volume di una piramide quadrangolare si ottiene moltiplicando l'area di base per l'altezza (h) e dividendo il risultato ottenuto per tre.

Conoscere le formule dirette e inverse della piramide

Dopo aver compreso il volume e l'area di base della piramide, risulta importante conoscere tutte le formule dirette e quelle inverse di tale figura geometrica.

La superficie laterale si ottiene dividendo a metà il prodotto tra il perimetro (p) e l'apotema o l'area di base e l'apotema: Al = (p * a) / 2 e Al = (Ab * a) / 2.

Il perimetro si trova dividendo per l'apotema il doppio della superficie laterale: p = (2 * Al) / a.

L'apotema viene fornito dal rapporto tra la superficie laterale e il perimetro o dalla radice quadrata fra l'altezza ed il raggio entrambi elevati al quadrato: a = Al / p e a = √h² + r², dove r = (2 * A) / (2 * p).

L'area totale della piramide risulta uguale alla somma fra la superficie laterale e quella di base: At = Al + Ab.

Il volume si ricava dividendo per tre la moltiplicazione tra la superficie di base e l'altezza: (Ab * h) / 3.

La superficie di base risulta dipendente dalla forma della piramide e viene fornito dal rapporto tra il volume moltiplicato per tre e l'altezza: Ab = (3 * V) / h.

L'altezza si trova dividendo il triplo del volume con la superficie di base: (3 * V) / Ab.

L'area totale rappresenta la somma tra la superficie laterale e quella di base. L'altezza dello spigolo della piramide (a1) si calcola applicando il teorema di Pitagora.

Calcolare l'altezza di una piramide quadrangolare a base quadrata

I vari triangoli che formano la piramide quadrangolare assumono il nome di facce laterali, mentre gli spigoli uscenti dal vertice si dicono laterali.

La distanza del vertice dal piano della base rappresenta, invece, l'altezza della piramide. Quest'ultima figura geometrica viene definita retta quando la base è un poligono circoscrivibile ad una circonferenza e il piede dell'altezza corrisponde al centro del cerchio stesso.

Nella piramide retta, le altezze di tutte le facce laterali risultano congruenti e si chiamano apotema.

Qualche formula indicata nel passaggio antecedente potrebbe risultare funzionale per trovare l'altezza di una piramide quadrangolare a base quadrata (hp).

Precisamente si ha: hp = √ [lp² - (d / 2)²] = √ [a² - (l / 2)²] = (3 * x * V) / Ab, dove lp rappresenta lo spigolo della piramide, d costituisce la diagonale di base ed l risulta il lato o spigolo di base.

Esempio

Affinché tutta la spiegazione riguardo la piramide diventi veramente semplice, il consiglio è quello di esercitarsi molto.

Supponendo che l'area di base e il volume risultano pari a 150 cm² e 275 cm³, bisogna fare il presente calcolo: h = (3 * 275 cm³) / 150 cm² = 825 cm³ / 150 cm² = 5,5 cm.

Sapendo poi che l'apotema risulta uguale a 12 cm, la superficie laterale vale Al = (150 cm² * 8 cm) / 2 = 1200 cm² / 2 = 600 cm². Di conseguenza, l'area totale della piramide è At = 600 cm² + 150 cm² = 750 cm².

Ecco quindi spiegato dettagliatamente come calcolare l'altezza di una piramide quadrangolare.

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