Come calcolare il minimo comune multiplo

Introduzione

Gli studenti che non apprezzano l'algebra trovano spesso difficoltà sul calcolo del Massimo Comune Divisore (M. C. D) e del minimo comune multiplo (m. c. m).

Con un po' di pratica e l'acquisizione di un buon metodo questi esercizi risultano semplici e abbastanza immediati.

Il minimo comune multiplo rappresenta un valore numerico utile per riuscire a risolvere i problemi di matematica. Ad esempio, nelle operazioni tra frazioni bisogna che tutte abbiano lo stesso denominatore (siano omogenee tra loro) prima di poter proseguire.

In questa guida vedremo come calcolare il minimo comune multiplo, definito come il più piccolo numero positivo che accomuna gli altri.

Per dirla in parole più semplici, m. c. m è definito come il numero più piccolo a cui tutti gli altri numeri sarebbero divisibili.

Scomponi i numeri dati in fattori primi

La regola per calcolare il minimo comune multiplo di due o più numeri dice che il primo passo da compiere è quello di scomporre i numeri dati in fattori primi.

Cosa significa? La fattorizzazione consiste nello scrivere la stessa cifra in forma diversa, cioè moltiplicando tra loro i numeri primi.

I numeri primi sono quei numeri divisibili per 1 o per se stessi. Ad esempio, devo scomporre il numero 36: so bene che non può essere un numero primo (come 31 o 37) perché terminando con una cifra pari è sicuramente divisibile per 2 e anche per 3 perché 3 + 6 = 9.

Scriverò quindi che 36 è uguale a 2² x 3².

Un ripasso alla scomposizione in fattori è d'obbligo per lo studente che vuole risolvere abilmente gli esercizi sul minimo comune multiplo.

Moltiplica i fattori comuni e non comuni

La regola del minimo comune multiplo dice che dopo la scomposizione in fattori primi occorre moltiplicare fra loro tutti i fattori comuni e non comuni, presi ciascuno una sola volta e con l'esponente maggiore.

Per esempio, per trovare il mcm di 30 e 45 basta fare un elenco dei fattori primi di ogni numero: 30 = 2 × 3 × 5; 45 = 3 × 3 × 5.

Quindi, bisogna moltiplicare ciascun fattore il maggior numero di volte che si verifica in uno dei due numeri.

Se lo stesso fattore si verifica più di una volta in entrambi i numeri, si moltiplica il fattore per il maggior numero di volte in cui esso si verifica. In questo caso, moltiplicherò 2 x 3² x 5 = 18 x 5 = 90. Il numero 90 è il mcm tra 30 e 45.

Esempi

Proviamo ad applicare quanto detto in un esempio pratico. L’esercizio è quella di trovare il minimo comune multiplo tra i numeri 10 e 16. Come detto nei precedenti passi, si parte dalla scomposizione e avremo:

10|2

5|5

1|

10 = 2 x 5

Successivamente, applichiamo questo medesimo procedimento anche per la scomposizione del numero 16.

16|2

8|2

4|2

2|2

1|

16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁴

A questo punto si valutano i risultati per capire come procedere. Tra i risultati il numero 2 e il numero 5, soffermandoci sulla scomposizione del numero 10, per quanto riguarda il 16, il 2⁴.

In base alla regola che abbiamo citato in precedenza, dovremo scegliere di prendere il 5 e il 2⁴ (perché è in comune ma ha anche l'esponente più alto).

A questo punto, non ci rimane che moltiplicare i numeri scelti tra loro: 5 x 2⁴ = 80. Dunque, il Minimo Comune Multiplo tra 10 e 16 è 80.

Gli errori da evitare

Tra gli errori più frequenti che gli studenti commettono c'è quello di non organizzare il foglio. Scrivere in modo ordinato evita di dimenticare qualche numero e fallire nel calcolo. Piuttosto che ricopiare molte volte gli stessi numeri, può essere utile inserire di volta in volta, uno sotto l'altro, i risultati delle scomposizioni.

In questo modo sarà evidente quali fattori saranno comuni e quali no.

Per gli amanti dei colori possono scegliere di scrivere in rosso gli esponenti così da trovare immediatamente l'esponente maggiore.

Un altro errore è dettato dalla confusione con il Massimo Comune Divisore e un trucco per non sbagliarsi è il seguente: il minimo comune multiplo sarà comunque un numero uguale o più alto degli altri presi in esame, mentre il Massimo Comune Divisore sarà un numero uguale o più piccolo degli altri.