Come calcolare il logaritmo negativo
La guida di matematica sul logaritmo negativo: definizione, proprietà e formula. Esempi su come si risolvono i logaritmi con e senza la calcolatrice
Indice
Introduzione
Il calcolo del logaritmo è una delle operazioni, apparentemente, più complesse che dobbiamo affrontare durante le superiori.
Viene definito logaritmo il valore che l'esponente di una potenza deve assumere per dare un determinato risultato. Esso viene generalmente indicato così: logₐ(b) = c in cui "a" corrisponde alla base e "b" all'argomento e "c" è il valore del logaritmo.
Nei passi successivi, dopo aver indicato le principali caratteristiche e proprietà dei logaritmi, vi mostreremo come calcolare il logaritmo di un numero negativo.
Proprietà del logaritmo
Prima di addentrarci nel vero e proprio calcolo del logaritmo è bene tenere a mente le sue principali caratteristiche:
- esso svolge l'operazione inversa all'elevamento a potenza;
- la base (necessariamente diversa da 1) deve essere sempre strettamente positiva e maggiore di zero;
- una qualsiasi base elevata a zero da sempre uno;
- se la base e l'argomento coincidono, allora il valore del logaritmo sarà uguale all'esponente dell'argomento.
Quindi, se abbiamo log₅(5⁶) allora il suo valore sarà 6
RICORDATI che:
- logₐ(bc) può anche essere scritto come = logₐ(b) + logₐ(c);
- logₐ(b/c) equivale anche a = logₐ(b) - logₐ(c).
Calcolo del logaritmo negativo
Ora che conosciamo le principali proprietà dei logaritmi, supponiamo di dover calcolare il ln(-1):
- nel campo dei complessi otteniamo una soluzione reale + una parte immaginaria: ln(-1) = a + ib
- secondo la definizione di logaritmo otteniamo -1 = e⁽ᵃ⁺ᶦᵇ⁾ = eᵃ * eᶦᵇ
- secondo le proprietà dei complessi eᶦᵇ possiamo scriverlo anche nel seguente modo: eᶦᵇ = cos(b) + isen(b), quindi sostituendolo alla formula precedente: -1 = eᵃ (cos(b) + isen(b))
- svolgendo la moltiplicazione: -1 = eᵃ * cos(b) + ieᵃ * sen(b) e ponendo b = kπ (con k appartenente ai numeri interi) abbiamo: -1 = eᵃ * cos (kπ) (perché sen (kπ) = 0)
- quando k è un numero pari, cos (kπ) = 1; quando invece è dispari vale -1. Da questo capiamo che nel nostro caso k deve essere dispari. Avremo quindi -1 = eᵃ (-1) (quindi a=0). Da questo otteniamo: in (-1) = ik π, con k intero dispari.
Per capire meglio ecco un esempio più esplicativo:
- basterà pensare al logaritmo di un qualsiasi numero negativo come il logaritmo del prodotto del modulo di questo numero e -1. Per esempio: in (-7) = ln (-1 * 7)
- per le proprietà dei logaritmi, otteniamo: ln (-1) + ln (7) = ln (7) + ik π, con k intero dispari.
Analogamente, si può estendere il discorso a un logaritmo in qualsiasi base, sostituendo nei passi precedenti la "e" con la base del logaritmo in questione. Svolgendo alcuni esercizi, riusciremo a prendere molta dimestichezza con questo argomento e la soluzione dei logaritmi negativi non sarà più un problema.
Calcolo del logaritmo negativo con la calcolatrice
Un modo sicuramente più semplice per calcolare un logaritmo negativo è quello di adoperare una calcolatrice scientifica, ecco i passaggi da fare:
- premi il tasto "ln";
- apri la parentesi tonda;
- digita il numero negativo (RICORDATI che il segno negativo non è quello usato per fare la sottrazione, ma generalmente si trova all'angolo opposto chiuso tra due parentesi);
- chiudi la parentesi tonda;
- premi uguale e avrai ottenuto il risultato del tuo logaritmo negativo.