Come calcolare il dominio di una funzione a tratti

Di Redazione Studenti.

Come studiare il dominio di una funzione definita a tratti: la spiegazione di funzione, funzione a tratti e di dominio e come eseguire questo calcolo matematico

Introduzione

Come calcolare il dominio di una funzione a tratti
Come calcolare il dominio di una funzione a tratti — Fonte: getty-images

L'analisi matematica è una materia molto affascinante che può apparire ostica solo se non ci si sforza di capire i meccanismi elementari che ne sono alla base. In questa guida vi spieghiamo come poter calcolare, nel migliore dei modi ed in maniera semplice e veloce, il dominio di una funzione a tratti. Per fare ciò faremo dei brevi cenni sui concetti di funzione, funzione a tratti e dominio.

Cos'è una funzione

Una funzione è un legame matematico che correla fra loro due o più variabili. Solitamente, quando si tratta di due variabili, si usa la notazione y = f(x) che vuol dire che y è funzione di x, cioè che il valore di y cambia in funzione del valore di x.

Per questo motivo, x viene detta variabile indipendente mentre y viene detta variabile dipendente (perché il suo valore "dipende" da quello di x).

Ad esempio nella formula y = 2x abbiamo che il valore di y è pari al doppio di quello di x, per cui se x = 2 sarà y = 4 e così via.

Funzione di più variabili

Abbiamo detto che in generale una funzione potrebbe non essere limitata a sole due variabili. Ci potrebbe essere una sola variabile dipendente e più variabili indipendenti. Chiamiamo sempre con y la variabile indipendente e con x1, x2, x3, . . . , xn le variabili indipendenti.

In tal caso useremo la seguente notazione: y = f(x1, x2, x3, . . . ,xn).

Cos'è una funzione a tratti

Una funzione a tratti è un legame tra le variabili y e x nel quale la formula matematica che correla le due variabili cambia a seconda del valore di x.

Funzione a tratti di più variabili

Analogamente a quanto visto, potremmo avere una funzione a tratti di più variabili. Si tratta di funzioni molto complesse che vengono affrontate solo a livello universitario da chi studia matematica, con l'ausilio di calcolatori elettronici.

Comunque il concetto generale è facile da capire, avremo che la funzione f varia non solo a seconda del valore di una sola variabile indipendente ma a seconda della combinazione della varie variabili indipendenti.

Cos'è il dominio di una funzione

Il dominio di una funzione è l'insieme dei valori che la variabile indipendente (cioè x) può assumere affinché la funzione possa avere soluzioni (reali).

Ad esempio: se avessi la funzione y = √x, poiché la radice quadrata, per avere soluzioni reali dovrebbe avere per forza un argomento maggiore o uguale a zero (è impossibile fare la radice quadrata di un numero negativo) posso dedurre che il dominio della funzione è x maggiore o uguale a zero.

Altro esempio: se avessi y = 1/x potrei dire che la funzione non esiste (non ha soluzioni reali) per x = 0 e quindi il dominio sarebbero tutti i numeri reali tranne 0.

Codominio di una funzione

Aggiungiamo che, invece, viene chiamato "codominio" l'insieme dei valori che può assumere la variabile dipendente y.

Ad esempio: nella funzione y = x² abbiamo che x può assumere qualsiasi valore ma il risultato sarà sempre maggiore di zero. Quindi il dominio sarà qualsiasi valore di x ma il codominio sarà y maggiore o uguale a zero.

Definizione insiemistica di funzione

Adesso che abbiamo definito i concetti di dominio e di codominio possiamo anche dare una nuova e diversa definizione di funzione, una definizione insiemistica: una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio. Tale relazione associa in maniera univoca ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio.

Dominio di una funzione a tratti

A questo punto, sulla base di quanto spiegato nei paragrafi precedenti, è molto semplice capire come si possa determinare il dominio di una funzione a tratti. Per ogni intervallo di x in cui la funzione è definita tramite una formula diversa, andrò a verificare se in quello stesso intervallo vi siano dei valori (o degli intervalli di valori) di x da escludere dal dominio.

Ricordiamoci sempre che i valori da escludere devono ricadere nell'intervallo stesso che stiamo esaminando, altrimenti non dovremo escluderli.

Consigli

Non dimenticare mai:

  • disegnate su un foglio di carta l'asse dei numeri reali e suddividetelo nei vari tratti nei quali è definita la funzione. Con un colore diverso eliminate i tratti in cui la funzione non è definita;
  • per il calcolo di funzioni a tratti di più variabili esistono appositi software.

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