Come calcolare il dominio di una funzione a tratti
Come studiare il dominio di una funzione definita a tratti: la spiegazione di funzione, funzione a tratti e di dominio e come eseguire questo calcolo matematico
Indice
Introduzione
L'analisi matematica è una materia molto affascinante che può apparire ostica solo se non ci si sforza di capire i meccanismi elementari che ne sono alla base. In questa guida vi spieghiamo come poter calcolare, nel migliore dei modi ed in maniera semplice e veloce, il dominio di una funzione a tratti. Per fare ciò faremo dei brevi cenni sui concetti di funzione, funzione a tratti e dominio.
Cos'è una funzione
Una funzione è un legame matematico che correla fra loro due o più variabili. Solitamente, quando si tratta di due variabili, si usa la notazione y = f(x) che vuol dire che y è funzione di x, cioè che il valore di y cambia in funzione del valore di x.
Per questo motivo, x viene detta variabile indipendente mentre y viene detta variabile dipendente (perché il suo valore "dipende" da quello di x).
Ad esempio nella formula y = 2x abbiamo che il valore di y è pari al doppio di quello di x, per cui se x = 2 sarà y = 4 e così via.
Funzione di più variabili
Abbiamo detto che in generale una funzione potrebbe non essere limitata a sole due variabili. Ci potrebbe essere una sola variabile dipendente e più variabili indipendenti. Chiamiamo sempre con y la variabile indipendente e con x1, x2, x3, ..., xn le variabili indipendenti.
In tal caso useremo la seguente notazione: y = f(x1, x2, x3, ...,xn).
Cos'è una funzione a tratti
Una funzione a tratti è un legame tra le variabili y e x nel quale la formula matematica che correla le due variabili cambia a seconda del valore di x.
Funzione a tratti di più variabili
Analogamente a quanto visto, potremmo avere una funzione a tratti di più variabili. Si tratta di funzioni molto complesse che vengono affrontate solo a livello universitario da chi studia matematica, con l'ausilio di calcolatori elettronici. Comunque il concetto generale è facile da capire, avremo che la funzione f varia non solo a seconda del valore di una sola variabile indipendente ma a seconda della combinazione della varie variabili indipendenti.
Cos'è il dominio di una funzione
Il dominio di una funzione è l'insieme dei valori che la variabile indipendente (cioè x) può assumere affinché la funzione possa avere soluzioni (reali).
Ad esempio: se avessi la funzione y = √x, poiché la radice quadrata, per avere soluzioni reali dovrebbe avere per forza un argomento maggiore o uguale a zero (è impossibile fare la radice quadrata di un numero negativo) posso dedurre che il dominio della funzione è x maggiore o uguale a zero.
Altro esempio: se avessi y = 1/x potrei dire che la funzione non esiste (non ha soluzioni reali) per x = 0 e quindi il dominio sarebbero tutti i numeri reali tranne 0.
Codominio di una funzione
Aggiungiamo che, invece, viene chiamato "codominio" l'insieme dei valori che può assumere la variabile dipendente y.
Ad esempio: nella funzione y = x² abbiamo che x può assumere qualsiasi valore ma il risultato sarà sempre maggiore di zero. Quindi il dominio sarà qualsiasi valore di x ma il codominio sarà y maggiore o uguale a zero.
Definizione insiemistica di funzione
Adesso che abbiamo definito i concetti di dominio e di codominio possiamo anche dare una nuova e diversa definizione di funzione, una definizione insiemistica: una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio. Tale relazione associa in maniera univoca ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio.
Dominio di una funzione a tratti
A questo punto, sulla base di quanto spiegato nei paragrafi precedenti, è molto semplice capire come si possa determinare il dominio di una funzione a tratti. Per ogni intervallo di x in cui la funzione è definita tramite una formula diversa, andrò a verificare se in quello stesso intervallo vi siano dei valori (o degli intervalli di valori) di x da escludere dal dominio. Ricordiamoci sempre che i valori da escludere devono ricadere nell'intervallo stesso che stiamo esaminando, altrimenti non dovremo escluderli.
Consigli
Non dimenticare mai:
- disegnate su un foglio di carta l'asse dei numeri reali e suddividetelo nei vari tratti nei quali è definita la funzione. Con un colore diverso eliminate i tratti in cui la funzione non è definita;
- per il calcolo di funzioni a tratti di più variabili esistono appositi software.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:
- Come trovare il dominio nelle funzioni irrazionali fratte
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