Come calcolare il centro di un fascio di rette

Come calcolare il centro di un fascio di rette: introduzione

La geometria euclidea formula una duplice definizione di "fascio di rette": l'insieme delle infinite rette passanti per un punto fisso oppure l'insieme delle infinite rette parallele ad una retta data.

Nel primo caso il punto fisso prende il nome di "sostegno" o "centro del fascio" e il fascio di rette viene chiamato "fascio proprio". Nel secondo caso invece viene detto "fascio improprio". In questa guida approfondiremo il caso del fascio proprio di rette. 

L'equazione del fascio di rette considera un parametro aggiuntivo "k"

Iniziamo affermando che il centro di un fascio di rette si identifica semplicemente a partire dall'intersezione di due rette all'interno di un piano. Queste due rette sono sufficienti a generare un fascio proprio di rette.

L'intersezione viene rappresentata da un punto definito genericamente con la lettera "P". Il centro, quindi, avrà come coordinate (x; y).

L'equazione che descrive un fascio proprio di rette nel piano cartesiano somiglia molto a quella che rappresenta una retta giacente sul medesimo piano. L'equazione del fascio proprio di rette, però, considera un parametro aggiuntivo, chiamato "K".

Al variare del valore di questo parametro corrisponde una delle rette che compongono il fascio. Ad ogni retta del fascio viene assegnato un parametro, ad eccezione di quella parallela all'asse delle y. Così dal parametro "K" si fanno dipendere il coefficiente angolare "m" ed il termine noto "q".

L'equazione del fascio proprio di rette si riduce a: y = m (k) x + q (k).

Raccogliere prima la "m"

Entriamo nel dettaglio e esaminiamo concretamente come si possono calcolare le coordinate del punto che identifica il centro di un fascio proprio di rette. Prendiamo ad esempio l'equazione mx + y - 2m + 1 = 0.

Per calcolare il centro di questo fascio di rette occorre per prima cosa determinare le generatrici del fascio stesso. Quindi raccogliamo "m" prima dell'uguale: m (x - 2) = - y - 1. Ricaviamo così le due rette generatrici del fascio: x - 2 = 0 e y = - 1. Ne risulta che il centro del fascio avrà queste coordinate P = (2;-1).

Rendere positiva l'equazione

Proseguiamo con un secondo esempio, per chiarirci ulteriormente le idee. Consideriamo un fascio proprio di rette descritto da questa equazione: 5y - mx + 3 = 0.

Come in precedenza, riscriviamo l'equazione del fascio isolando "m" e portando il termine con l'incognita "y" dall'altra parte dell'uguale. La nuova equazione sarà: - mx = - 5y - 3. Rendiamo positiva l'equazione cambiandone tutti i segni: mx = 5y + 3. Il punto P di coordinate (0:-3/5) costituisce quindi il centro del fascio proprio di rette dato.

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