1 Leggete attentamente il testo seguente, e poi rispondete ai successivi quesiti
Nelle applicazioni della Matematica allo studio dei fenomeni naturali e sociali si presentano spesso problemi (calcolo di aree, di lunghezze, di volumi,
determinazione di centri di gravità, di momenti di inerzia) per risolvere i
quali i metodi della Matematica elementare risultano insuffcienti. Occorrono
procedimenti di natura più elevata.
Due figure poligonali di stessa area sono decomponibili in uguale numero
nito di parti rispettivamente identiche. Non altrettanto può dirsi di un
quadrato e di un cerchio aventi stessa area, oppure di due piramidi aventi
uguali basi ed altezze e quindi lo stesso volume. L'impossibilità di scomporre
due figure in un numero finito di parti uguali diventa ancora più manifesta
quando si considerano figure piane o solide equiestese di forma meno elementare.
In questi casi la decomposizione in parti uguali si può ottenere solo
con la suddivisione delle due figure in un numero infinito di elementi, che
quindi dovranno essere infinitamente piccoli (almeno alcuni di essi).
Pertanto non è possibile in genere calcolare aree e volumi se non mediante
decomposizioni in infinite parti, o con procedimenti equivalenti a tali decomposizioni,
e quindi facendo ricorso - direttamente o indirettamente - all'infinito e all'infinitesimo. Si esce dal campo della Matematica elementare per
entrare in quello dell'Analisi infinitesimale, in cui, con il sussidio dell'infinito
e dell'infinitesimo, si giunge alla valutazione di grandezze finite.
I due grandi capitoli dell'Analisi infinitesimale sono costituiti dal calcolo
integrale e dal calcolo differenziale. In particolare, nel primo si risolvono i
problemi sopra accennati (ed altri analoghi). Collegato al calcolo integrale
si può considerare anche lo studio delle equazioni di fferenziali, le quali permettono
di determinare, a partire dalla conoscenza delle condizioni locali o
istantanee di un certo fenomeno, la legge integrale del fenomeno stesso, cioè
la legge che ne permette la completa valutazione.
Mentre le origini del calcolo differenziale si possono riconoscere negli studi
del secolo XVII (ad esempio riguardanti il problema della tangente ad una
curva), per rintracciare quelle del calcolo integrale bisogna risalire fino ai geometri
greci i quali, nella ricerca di aree e volumi, seppero ottenere risultati
ammirevoli. E'
necessario pertanto risalire addirittura all'epoca in cui in Grecia furono
gettate le basi logiche della Geometria, cioè al periodo classico della civiltà
ellenica, in special modo al V sec. a.C.. E' proprio da questo momento che
partiremo per una breve analisi storica, so ffermandoci in particolare sulle
figure di Eudosso e di Archimede.
Quest'ultimo (287-212 a.C.) aveva già intuito i concetti di infinitesimo e di
integrale de nito. Tuttavia, si colloca alla fine della grande Matematica
greca ed il suo contributo non viene di fatto raccolto. Per secoli, la \sua"
Matematica non ha più sviluppi no a che, soprattutto ad opera della scuola
italiana, circa venti secoli più tardi, la sua eredità viene approfondita. Tra i
maggiori continuatori della sua opera in questo periodo (sec. XVII) possiamo
ricordare Galileo Galilei, Bonaventura Cavalieri ed Evangelista Torricelli con
la loro teoria degli indivisibili.
A rendere diffle lo sviluppo dell'Analisi matematica fino a questo periodo è stata la mancanza di un simbolismo adeguato. Fin verso il secolo XVII, ogni
autore usava abbreviazioni proprie - il che rendeva difficile la trasmissione
delle idee - e nella maggior parte dei casi veniva a mancare, tra espressioni
diverse, quell'analogia e omogeneità formale, così essenziale in Matematica.
Quasi contemporaneamente alla scuola italiana, nacque quella francese, i cui
esponenti più significativi sono Descartes e Fermat. Al primo siamo debitori
dell'uso di lettere per indicare le variabili e del potente mezzo di rappresentazione
gra ca dei legami tra quantità variabili, che e indissolubilmente
legato alla corrispondenza tra punti del piano e coppie ordinate di numeri
reali.
Il concetto di variabili dipendenti ed indipendenti venne chiarito e formalizzato
con l'introduzione del concetto di funzione, anche se la sua definizione
ha avuto successivi ampliamenti no ad oggi, quando ha assunto un signicato che è praticamente accettato da tutti. Il primo ad usare tale idea di
funzione fu Leibniz (1646-1716), al quale si deve inoltre l'introduzione di un
simbolismo per la derivata di una funzione. Una spinta decisiva ed essenziale
allo sviluppo dell'Analisi fu data da Newton (1642-1727) che, con Leibniz,
può essere ritenuto il fondatore dell'Analisi moderna. Ad essi si devono importantissimi
contributi allo sviluppo del calcolo differenziale ed integrale.
Ulteriori passi avanti furono fatti ad opera dei Bernoulli, una famiglia di
matematici svizzeri che ha giocato un ruolo di primo piano nel progresso della
Matematica, specialmente nel campo di cui ci stiamo occupando. Eulero
(1707-1783) introdusse poi vari approfondimenti e numerosissimi procedimenti
di calcolo. All'inizio dell'analisi moderna campeggiano le figure di
Cauchy (1789-1857), cui solitamente viene attribuito l'introduzione del \rigore"
nell'Analisi matematica, e di Riemann che completo e approfondì gli
studi di Cauchy ed ha legato il suo nome alla de nizione classica di integrale.
All'inizio del secolo XX, con la teoria della misura di Lebesgue, emersero poi
nuove e più generali definizioni.
Se hanno la stessa area, possono essere decomposti in un numero finito
di parti identiche: