Trigonometria: IV° parte

Di Redazione Studenti.

Studio di funzioni goniometriche e approfondimenti dei diversi angoli

Argomenti trattati:
Angoli e unità di misura - Definizione - Funzioni goniometriche - Angoli Complementari - Angoli supplementari - Angoli esplementari - Angoli opposti

Con le scelte fatte sulla definizione dell'angolo, possiamo considerare le funzioni goniometriche come funzioni reali di variabile reale e scriverne le equazioni nelle abituali denominazioni delle variabili: y = sin x, y = cos x, y = tg xe rappresentarne i grafici in un sistema di riferimento xOy monometrico.

Cominciamo con: y = sin x

La curva rappresentata viene chiamata sinusoide.

Vediamo alcune caratteristiche interessanti.

Periodicità:
il periodo della funzione è T = 2 p .

Limitatezza:
il codominio della funzione non può assumere valori al di fuori dell'intervallo [-1, 1]. Questa caratteristica si esprime dicendo che y = sin x è una funzione limitata: il valore –1 è il minimo ed il valore 1 è il massimo, tra quelli che essa può assumere.

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Estremanti:
per la periodicità della funzione ci sono infiniti punti in cui essa assume il valore di massimo, di ascissa x = p /2 + 2 kp con k? Z, e infiniti punti in cui essa assume il valore di minimo, di ascissa x = - p /2 + 2 kp con k? Z

Zeri:
sono da segnalare anche gli infiniti punti in cui la sinusoide interseca l'asse delle ascisse, ovvero gli infiniti zeri della funzione y = sin x, di ascissa x = kp, con kintero relativo.

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Simmetrie:
la sinusoide ha molte simmetrie assiali e centrali: evidenziamo solo le due più significative.

a. la curva è simmetrica rispetto all'origine O: infatti la funzione seno è dispari: per ogni x? R vale: sin(- x) =- sin x

b.il grafico è simmetrico rispetto alla retta di equazione x =p /2 .

Infatti, secondo la relazione tra gli archi supplementari, vale per ogni x? R: sin (p - x) = sin x.
Ora, gli archi a1 = p - xe a2 = xsono simmetrici rispetto a x =p /2, che è il loro punto medio: ( a1 + a2) /2 =p /2.

Rappresentiamo ora la funzione: y = cos x

La curva ottenuta viene chiamata cosinusoide.
Sulle sue proprietà valgono considerazioni analoghe a quelle viste per la sinusoide.

Si noti che i due grafici appena visti sono "sostanzialmente" identici; nel senso che la cosinusoide si può ottenere dalla sinusoide effettuando una traslazione (di vettore v=(- p /2; 0 ) ).

Questa curva è simmetrica rispetto all'asse y, ovvero, è una funzione pari: per ogni x?R si ha infatti: cos(-x) = cosx.

Analizziamo ora il grafico della funzione: y = tg x


Non è limitata


Non ha estremanti

Dominio: non è definitanei punti del tipo x =p/2+ kp, con k?Z; il suo dominio è pertanto:


Codominio:
C = R (tutto l'asse reale)


Periodicità:
T = p

Zeri:
x = kp, con k? Z

Asintoti verticali:
i n corrispondenza dei valori esclusi dal dominio, abbiamo che tutte le rette di equazione x =p/2 + kp sono asintoti verticaliper la funzione

Simmetrie:
ogni zero della funzione è anche centro di simmetria per il suo grafico; in particolare, questo è simmetrico rispetto all'origine, cioè la funzione tangente è dispari: per ogni x ?p/2 + kp si ha: tg (- x) =- tg x.