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Nelle applicazioni della Matematica allo studio dei fenomeni naturali e sociali si presentano spesso problemi (calcolo di aree, di lunghezze, di volumi, determinazione di centri di gravità, di momenti di inerzia) per risolvere i quali i metodi della Matematica elementare risultano insuffcienti. Occorrono procedimenti di natura più elevata. Due figure poligonali di stessa area sono decomponibili in uguale numero nito di parti rispettivamente identiche. Non altrettanto può dirsi di un quadrato e di un cerchio aventi stessa area, oppure di due piramidi aventi uguali basi ed altezze e quindi lo stesso volume. L'impossibilità di scomporre due figure in un numero finito di parti uguali diventa ancora più manifesta quando si considerano figure piane o solide equiestese di forma meno elementare. In questi casi la decomposizione in parti uguali si può ottenere solo con la suddivisione delle due figure in un numero infinito di elementi, che quindi dovranno essere infinitamente piccoli (almeno alcuni di essi). Pertanto non è possibile in genere calcolare aree e volumi se non mediante decomposizioni in infinite parti, o con procedimenti equivalenti a tali decomposizioni, e quindi facendo ricorso - direttamente o indirettamente - all'infinito e all'infinitesimo. Si esce dal campo della Matematica elementare per entrare in quello dell'Analisi infinitesimale, in cui, con il sussidio dell'infinito e dell'infinitesimo, si giunge alla valutazione di grandezze finite. I due grandi capitoli dell'Analisi infinitesimale sono costituiti dal calcolo integrale e dal calcolo differenziale. In particolare, nel primo si risolvono i problemi sopra accennati (ed altri analoghi). Collegato al calcolo integrale si può considerare anche lo studio delle equazioni differenziali, le quali permettono di determinare, a partire dalla conoscenza delle condizioni locali o istantanee di un certo fenomeno, la legge integrale del fenomeno stesso, cioè la legge che ne permette la completa valutazione. Mentre le origini del calcolo differenziale si possono riconoscere negli studi del secolo XVII (ad esempio riguardanti il problema della tangente ad una curva), per rintracciare quelle del calcolo integrale bisogna risalire fino ai geometri greci i quali, nella ricerca di aree e volumi, seppero ottenere risultati ammirevoli. E' necessario pertanto risalire addirittura all'epoca in cui in Grecia furono gettate le basi logiche della Geometria, cioè al periodo classico della civiltà ellenica, in special modo al V sec. a.C.. E' proprio da questo momento che partiremo per una breve analisi storica, soffermandoci in particolare sulle figure di Eudosso e di Archimede. Quest'ultimo (287-212 a.C.) aveva già intuito i concetti di infinitesimo e di integrale denito. Tuttavia, si colloca alla fine della grande Matematica greca ed il suo contributo non viene di fatto raccolto. Per secoli, la \sua" Matematica non ha più sviluppi no a che, soprattutto ad opera della scuola italiana, circa venti secoli più tardi, la sua eredità viene approfondita. Tra i maggiori continuatori della sua opera in questo periodo (sec. XVII) possiamo ricordare Galileo Galilei, Bonaventura Cavalieri ed Evangelista Torricelli con la loro teoria degli indivisibili. A rendere diffle lo sviluppo dell'Analisi matematica fino a questo periodo è stata la mancanza di un simbolismo adeguato. Fin verso il secolo XVII, ogni autore usava abbreviazioni proprie - il che rendeva difficile la trasmissione delle idee - e nella maggior parte dei casi veniva a mancare, tra espressioni diverse, quell'analogia e omogeneità formale, così essenziale in Matematica. Quasi contemporaneamente alla scuola italiana, nacque quella francese, i cui esponenti più significativi sono Descartes e Fermat. Al primo siamo debitori dell'uso di lettere per indicare le variabili e del potente mezzo di rappresentazione graca dei legami tra quantità variabili, che e indissolubilmente legato alla corrispondenza tra punti del piano e coppie ordinate di numeri reali. Il concetto di variabili dipendenti ed indipendenti venne chiarito e formalizzato con l'introduzione del concetto di funzione, anche se la sua definizione ha avuto successivi ampliamenti no ad oggi, quando ha assunto un signicato che è praticamente accettato da tutti. Il primo ad usare tale idea di funzione fu Leibniz (1646-1716), al quale si deve inoltre l'introduzione di un simbolismo per la derivata di una funzione. Una spinta decisiva ed essenziale allo sviluppo dell'Analisi fu data da Newton (1642-1727) che, con Leibniz, può essere ritenuto il fondatore dell'Analisi moderna. Ad essi si devono importantissimi contributi allo sviluppo del calcolo differenziale ed integrale. Ulteriori passi avanti furono fatti ad opera dei Bernoulli, una famiglia di matematici svizzeri che ha giocato un ruolo di primo piano nel progresso della Matematica, specialmente nel campo di cui ci stiamo occupando. Eulero (1707-1783) introdusse poi vari approfondimenti e numerosissimi procedimenti di calcolo. All'inizio dell'analisi moderna campeggiano le figure di Cauchy (1789-1857), cui solitamente viene attribuito l'introduzione del \rigore" nell'Analisi matematica, e di Riemann che completo e approfondì gli studi di Cauchy ed ha legato il suo nome alla denizione classica di integrale. All'inizio del secolo XX, con la teoria della misura di Lebesgue, emersero poi nuove e più generali definizioni. Se hanno la stessa area, possono essere decomposti in un numero finito di parti identiche: