Triangolo isoscele: i teoremi

Di Barbara Leone.

I teoremi del triangolo isoscele, con ipotesi, tesi e dimostrazione

TRIANGOLO ISOSCELE, I TEOREMI - Pronto per la verifica di matematica sul triangolo isoscele e i suoi teoremi? Ecco per te ipotesi, tesi e dimostrazione del teorema diretto del triangolo isoscele e di quello inverso. Non farti cogliere impreparato: ripassa con noi!

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triangolo_isosceleTEOREMA DIRETTO DEL TRIANGOLO ISOSCELE

Teorema
: “un triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali”.
Ipotesi: è dato un triangolo ABC del quale sappiamo che i lati AB e AC sono uguali.
Tesi: bisogna dimostrare che gli angoli alla base ACB ed ABC, opposti ad AB e ad AC, sono anch'essi uguali.

Dimostrazione: sui prolungamenti dei lati AB ed AC si devono prendere due segmenti uguali BD=CE ed unendo B con E e C con D consideriamo i triangoli ACD ed ABE. Essi hanno: AC=AB per ipotesi (lati uguali di un triangolo isoscele); AD=AE perché somma di segmenti uguali; Angolo DAC=EAB in comune. I due triangoli quindi saranno uguali per il primo criterio d’uguaglianza e quindi saranno uguali anche i lati DC=EB. Poiché a lati uguali stanno opposti angoli uguali, ne segue ADC=AEB.

A questo punto si considerano i triangoli DBC ed ECB. Anch’essi sono uguali per il primo criterio d’uguaglianza, in quanto hanno: BD=CE per costruzione; DC=EB perché appena dimostrato; BDC=CEB perché appena dimostrato. Quindi risultano uguali anche gli angoli DBC ed ECB, che stanno opposti ai lati uguali DC ed EB.

A questo punto si può osservare che questi ultimi due angoli formano angoli piatti con ciascuno degli angoli alla base del triangolo isoscele. Perciò si può concludere affermando che gli angoli alla base del triangolo isoscele sono uguali tra loro, in quanto supplementari di angoli uguali.

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TEOREMA INVERSO DEL TRIANGOLO ISOSCELE

Teorema (inverso del teorema precedente): “un triangolo che ha due angoli uguali ha pure uguali i lati opposti a questi, per cui esso è isoscele”.
Ipotesi: è dato un triangolo ABC del quale sappiamo che gli angoli in B ed in C sono uguali.
Tesi: si vuole dimostrare che i lati AC ed AB, ad essi opposti, sono anche loro uguali.

Dimostrazione: sui prolungamenti dei lati AB ed AC si considerano i segmenti uguali BD e CE. Congiungendo B con E e C con D, si devono considerare i triangoli DBC ed ECB che saranno uguali per il primo criterio d’uguaglianza, in quanto hanno: BC in comune; BD=CE per costruzione; DBC=BCE perché adiacenti agli angoli uguali ABC ed ACB.

Dall’uguaglianza di tali triangoli discende che: ADC=AEB, DC=BE, BCD=CBE. Sommando a membro a membro l’uguaglianza BCD=CBE con l’uguaglianza, nota per ipotesi, ACB=ABC, si ottiene ACD=ABE. A questo punto si devono considerare i triangoli ACD ed ABE, che saranno uguali per il secondo criterio d’uguaglianza, avendo uguali due angoli ed il lato tra essi compreso, cioè: ACD=ABE, ADC=AEB, DC=BE. Ne consegue l’uguaglianza dei lati AC ed AB che stanno opposti ai due angoli uguali in D ed in E.