Spiegazione del teorema di Lagrange

Di Barbara Leone.

Per chi si ritrova ad affrontare lo studio della matematica, ecco l'enunciato, la dimostrazione algebrica ed il significato geometrico, con le conseguenze del teorema di Lagrange

MATEMATICA: SPIEGAZIONE DEL TEOREMA DI LAGRANGE - Il significato geometrico che viene dato al teorema di Lagrange è di facile comprensione in quanto fa riferimento al concetto di tangente in un punto. Il teorema si riesce a dimostrare algebricamente facendo riferimento al teorema di Rolle, per cui la funzione di cui si parla risulta costante con derivata prima uguale a zero.

Enunciato: data una funzione f(x) continua in un intervallo [a; b] chiuso e derivabile in (a; b) aperto, esisterà un punto x0 appartenente ad (a;b) tale che f ' (x0)=[f(b)-f(a)]/(b-a).

Dimostrazione algebrica: posto g(x)=f(x)-{f(a)+[(f(b)-f(a))/(b-a)]*(x-a)}, calcolando il valore g(x) quando x=a ed x=b, troveremo che g(a)=g(b)=0. Da tale relazione sapendo che la funzione g(x) è continua e derivabile in un punto e imposto che g(a)=g(b)=0, per il teorema di Rolle la funzione è costante con derivata prima uguale a zero. Quindi avremo g '(x)=f '(x0)-[f(b)-f(a)]/(b-a); ciò comporta che f '(x0)=[f(b)-f(a)]/(b-a). La tesi proposta nell'enunciato risulta quindi dimostrata.

Funzione tangente: spiegazioni ed esercizi svolti

Significato geometrico: il significato geometrico che viene dato al teorema di Lagrange è di facile comprensione in quanto fa riferimento al concetto di tangente in un punto. Se un arco di curva è dotato di tangente, esisterà un punto x0 dove la tangente è una retta parallela alla secante che congiunge i due estremi della funzione (o anche arco di curva) dato.

1° Corollario: se in tutto l'intervallo (a; b) si suppone f '(x0)=0, allora la funzione f(x0) è costante in (a; b).

Dimostrazione: prendiamo un qualsiasi punto x0 dell'intervallo (a; b) con x0¹a ed applichiamo il teorema di Lagrange alla funzione in questione nell'intervallo (a; x0). Si ha: [f(x0)-f(a)]/(x0-a)=f '(z) [2] con a

2° Corollario: se in un intervallo (a; b) la derivata f '(x) è sempre positiva, allora la funzione è crescente in tale intervallo; se invece è negativa, la funzione è decrescente.