Maturità 2007: soluzione al quesito 3 dal forum

Continuano ad arrivare sul forum le soluzioni ai vari quesiti dell'esame di matematica per la seconda prova della maturità 2007. Alle 11:45 del 21 giugno 2007, Davidino invia sul forum la sua soluzione del quesito 3: Nel polinomio X*3-X*2-K+1 si ponga Y=K-1. Il polinomio diventa quindi X*3-X*2 - Y. L'equazione associata è Y=X*3-X*2. L'intersezione di questa cubica con il fascio di rette parallele di equazione Y=k-1 darà il numero di soluzioni reali per il variare di K. La funzione Y=X*3-X*2 va da meno inf a più inf ed interseca l'asse X nei punti (0,0) e (1,0). Dallo studio della derivata prima y'=3x*2-2x si vede cha ha max realtivo in (0,0) e min relativo in (2/3, -4/27). Le soluzioni reali saranno dunque determinate dal numero di intersezioni della retta y=k-1 con la curva. Ora, se k assume valori più bassi di quelli dell'ordinata del minimo, ci sarà una sola intersezione. Quindi k-1=-4/27, da cui k=23/27. Per k<23/27, una soluzione reale. Per K=23/27 tre soluzioni reali, due coincindenti (punto di minimo, x=2/3), la terza si ricava dopo facili calcoli ed è x=-1/3.

Ora siamo al di sopra del minimo, ed il fascio interseca la curva per tre volte fino a quando si raggiunge il valore del massimo, ovvero Y=0. Quindi k-1=0 e K=1. Quindi per k compresa tra 23/27 e 1 ci saranno tre soluzioni reali distinte. Per K=1 tre soluzioni reali, due coincindenti (x=0) e la terxa è x=1. Al di sopra del max, ancora una sola soluzione, cioè per k maggiore di 1.