Lo studio delle funzioni (VI° parte)

Di Redazione Studenti.

Funzioni, spiegazione dettagliata: dalla procedura alle derivate, dagli asintoti agli esempi

LO STUDIO DI UNA FUNZIONE - Sei in quinto liceo e hai paura della prova di matematica? Devi sapere che, agli esami di maturità, capita quasi sempre uno studio di funzione, magari accompagnato da altre domande a contorno. Lo studio di funzione richiama infatti numerosi argomenti trattati nel corso di tutti e cinque gli anni di scuola (equazioni e disequazioni di tutti i tipi, limiti, derivate, ecc.) e si tratta di una importantissima sezione della matematica. Perciò, se la lezione sulle funzioni non ti è stata molto chiara, ecco per te dei comodi riassunti per non farti trovare impreparato!
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Guarda anche: Approfondimenti, lezioni ed esercizi sul programma di matematica di 3°, 4° e 5° liceo

Per fare la distinzione tangente orizzontale/obliqua, non bisogna fare molta fatica.

Basta riflettere: i flessi a tangente orizzontale li abbiamo individuati al passaggio precedente; per cui si tratta solo di una conferma.

In altre parole, se al punto 4) ho trovato che x1 è un punto di flesso a tangente orizzontale (ricordo che flesso è un punto in cui cambia la concavità e le informazioni sulla concavità ce le dà la derivata seconda), dovrò ritrovarmi x1 anche nel grafico del segno della derivata seconda: non solo: in corrispondenza di esso la derivata seconda deve cambiare segno; se non succede ho sbagliato qualcosa, o al passo precedente o nello studio della derivata seconda.
Quindi, i flessi a tangente orizzontale costituiscono un'informazione che è possibile ritrovare sia nello studio della derivata prima che in quello della derivata seconda.

Per i flessi a tangente obliqua, c'è ancora meno da dire: infatti, una volta stabilito, dallo studio della derivata seconda, che un punto è di flesso (chiamiamolo x2), questo è a tangente obliqua se non compare nel grafico del segno della derivata prima.
Diciamolo meglio: se fosse a tangente orizzontale, dovrebbe annullare (anche) la derivata prima (ricordatevi che un punto a tangente orizzontale annulla la derivata prima: discende dal significato geometrico della derivata prima). Ma se la annulla, allora lo ho già individuato al punto 4) e compare nel grafico del segno della derivata prima.
Se non vi convince, fate così: prendete x2, il punto che avete appena individuato (annulla la derivata seconda).
Sostituitelo nella derivata prima: Se vi viene zero, è un punto di flesso a tangente orizzontale (annulla anche la derivata prima!), se il risultato viene diverso da zero è un punto di flesso a tangente obliqua (non la annulla!).
Non solo: da questa sostituzione avete anche trovato il coefficiente angolare della retta tangente in questo punto (di flesso), che viene anche detta tangente inflessionale.
È una retta tangente al grafico con una proprietà particolare: quella di "attraversare" il grafico.
Il grafico, un "pizzico" alla destra di x2 è sopra (o sotto) questa tangente; mentre, un "pizzico" alla sinistra di x2 si trova al di sotto (o al di sopra).

Vedi anche: Derivata di funzioni inverse: il teorema

Alcuni Prof. richiedono che nello studio della funzione venga anche scritta l'equazione di tale tangente inflessionale: è un punto opzionale, piuttosto facile comunque.
Per determinare il coefficiente angolare (m), abbiamo già detto come fare: basta prendere il punto di flesso (x2, che abbiamo determinato dallo studio della derivata seconda)e sostituirlo nella derivata prima: Per trovare l'intercetta (q) basta imporre il passaggio per il punto (x2, y2) della generica retta y=mx+q, con m appena trovato.
Domanda: e y2 come lo trovo? Ovvero, l'ordinata corrispondente al punto (di flesso) di ascissa x2, come si trova? Naturalmente, sostituendo x2 nella funzione di partenza: Così facendo, trovo la sua ordinata sul grafico della funzione.
Come si vede, quella che abbiamo appena visto è una fase molto delicata in cui è necessario "incrociare" diverse informazioni: quelle provenienti dalla derivata seconda (x2, punto di flesso), quelle che ci fornisce la derivata prima (coefficiente angolare della retta tangente nel punto x2) e quelle che ci fornisce la funzione di partenza (y2=f(x2), ordinata del punto x2 sul grafico di f(x)).

Ricordiamo che tutto quello che abbiamo detto sui punti di flesso fino a qui è relativo punti che annullano la derivata seconda e in corrispondenza dei quali si ha un cambio di segno della derivata seconda stessa (cui corrisponde, come detto, un cambio di concavità del grafico di f(x)).
Rivediamo, a questo punto, che succede nei punti che mandano all' infinito la derivata prima (e quindi anche la derivata seconda, per il principio della cascata), ma non la funzione di partenza.
In questi punti, come si è visto nel precedente punto 4) abbiamo individuato una cuspide o un flesso a tangente verticale.
Questi punti devono "tornare" anche nel grafico del segno della derivata seconda. In che modo?
Per prima cosa, tali punti saranno "non accettabili" e questo fatto deve essere opportunamente evidenziato nel grafico del segno della derivata seconda.
In secondo luogo,
in corrispondenza di un flesso a tangente verticale, ci dovrà essere un cambio di segno (cioè, di concavità).
in corrispondenza di una cuspide, non ci sarà cambio di segno (la concavità rimane sempre la stessa, prima e dopo la cuspide).

Attenzione:
Come si è visto, dunque, anche in corrispondenza del flesso a tangente verticale si ha un cambio di segno (concavità); ma non bisogna confondersi con gli altri flessi visti in precedenza (orizzontali e obliqui), perché in questi ultimi sia la derivata prima che quella seconda sono perfettamente definite (esistono, sono calcolabili in quei punti) e, come abbiamo visto, sono tali da annullare la derivata seconda: "Annullare" vuol dire che sostituiti nella derivata seconda danno come risultato zero: f'' (x)=0.

Guarda anche le altre spiegazioni sullo studio di una funzione:

- Spiegazione della procedura

- Determinazione del dominio di f(x)

- Studio del segno di f(x)

- Studio della continuità e ricerca degli asintoti:
-
Asintoti verticali (e discontinuità)
- Asintoti orizzontali
- Asintoti obliqui


- Derivata prima; punti di Max e min e i punti di flesso a tg orizzontale

- Derivata seconda; studio del suo segno e ricerca dei punti di flesso

- Disegno del grafico

- Esempi di Studio di Funzioni