Lo studio delle funzioni (V° parte)

Di Redazione Studenti.

Funzioni, spiegazione dettagliata: dalla procedura alle derivate, dagli asintoti agli esempi

LO STUDIO DI UNA FUNZIONE - Sei in quinto liceo e hai paura della prova di matematica? Devi sapere che, agli esami di maturità, capita quasi sempre uno studio di funzione, magari accompagnato da altre domande a contorno. Lo studio di funzione richiama infatti numerosi argomenti trattati nel corso di tutti e cinque gli anni di scuola (equazioni e disequazioni di tutti i tipi, limiti, derivate, ecc.) e si tratta di una importantissima sezione della matematica. Perciò, se la lezione sulle funzioni non ti è stata molto chiara, ecco per te dei comodi riassunti per non farti trovare impreparato!
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Guarda anche: Approfondimenti, lezioni ed esercizi sul programma di matematica di 3°, 4° e 5° liceo


Vi ricordo anche il "principio della cascata".
Se la funzione non è definita in un punto, tutte le derivate non sono definite in quel punto.
Se la funzione non è continua in un punto, non mi pongo il problema della derivabilità, perché "non continuità" implica "non derivabilità".
Questo vale anche per i gradini successivi: se la derivata prima non è definita in un punto (magari in quel punto era invece definita la funzione di partenza), allora la derivata seconda e quelle successive non sono definite in quel punto. E così via.

Dal punto di vista operativo, quando in un grafico del segno (ad esempio, in quello relativo alla funzione di partenza), vi trovate un punto non accettabile, quel punto lo dovete riportare in tutti i grafici del segno successivi (cioè in quello della derivata prima, seconda, ecc.).


Vedi anche:
La derivata di una funzione: definizione


Conclusione del punto 4)
Al termine di questa fase, si elencano i punti trovati (massimi, minimi, flessi) andando anche a determinare la loro rispettiva ordinata (basterà sostituire l'ascissa nell'espressione della funzione di partenza, f(x)) e specificando la loro natura (massimo, minimo, tipo di flesso).

5) Calcolo della derivata seconda; studio del suo segno e ricerca dei punti di flesso:
Questo passo è formalmente identico a quello precedente.
Si tratta di calcolare la derivata seconda (ovvero, la derivata della derivata), e studiarne il segno, ovvero impostare la disequazione: f'' (x)=0.
L'insieme delle soluzioni rappresenta gli intervalli in cui la funzione (il suo grafico) volge la concavità verso l'alto:

N.B.
Dal momento che non c'è uniformità su cosa si intende per "concavità verso l'alto", per essere più chiari si potrà dire, in modo del tutto informale (non lo dite al Prof.!), che l'insieme delle soluzioni rappresenta gli intervalli dove la funzione "sorride".
Gli intervalli complementari saranno quelli in cui, al contrario, la funzione è "triste".

Ecco un esempio:


All'interno, la derivata seconda è positiva (linea continua): pertanto la funzione in questo intervallo sorride (il suo grafico ha la concavità verso l'alto); all'esterno, invece, la derivata seconda è negativa, pertanto in questi intervalli la funzione è triste (grafico con concavità verso il basso).
Si noti che non sempre il calcolo della derivata seconda è agevole. Anzi, ci sono molti casi in cui è talmente complicato che è, non solo consigliato, ma addirittura obbligatorio lasciar perdere.
Le informazioni che si ricavano dallo studio del segno della derivata seconda sono importanti, ma in molte situazioni si riesce comunque a dedurre il comportamento della funzione con una certa precisione, anche senza quelle informazioni.
Vediamo ora di capire quali sono le informazioni che ci fornisce la derivata seconda.

Approfondisci: Derivata di funzioni composte: spiegazione e dimostrazione


Da ricordare:
La derivata seconda fornisce informazioni sulla concavità e sui flessi.
Non specifichiamo su quale tipo di flesso fornisce informazione, perché ce le fornisce su tutti!
Cos'è un flesso? Un flesso è un punto in corrispondenza del quale la funzione cambia concavità.
Ad esempio, se la funzione ha un flesso in x0 allora prima di x0 ha la concavità verso l'alto (sorride), dopo x0 ha la concavità verso il basso (triste). Oppure, il contrario.
Notare l'analogia con i massimi/minimi: un punto di massimo/minimo relativo è un punto in corrispondenza del quale la funzione cambia andamento (monotonia): prima crescente e poi decrescente o viceversa.
E' chiaro, dunque, che la ricerca dei punti di flesso andrà fatta in modo del tutto analogo a quanto già visto per i massimi/minimi relativi. La differenza sta nel fatto che non andremo a guardare il grafico del segno della derivata prima ma quello della derivata seconda: su questo grafico andremo a fare considerazioni analoghe a quelle fatte nella ricerca dei massimi/minimi.
Ci aspetteremo di trovare dei flessi nei punti in corrispondenza dei quali la derivata seconda cambia segno.

Vediamo la procedura.
Dopo aver impostato la disequazione f'' (x)=0 e trovata la soluzione:
Riporto nel grafico del segno i punti " non accettabili", facendo particolare attenzione a riportare anche quelli che erano stati evidenziati precedentemente (nello studio del dominio della funzione e nello studio della derivata prima).
Evidenzio i punti in cui la derivata seconda si annulla, e li analizzo uno alla volta.
Se in corrispondenza di un punto la derivata seconda cambia segno, allora si tratta di un flesso.
Quello che si deve verificare, quindi, è che, a destra e a sinistradel punto individuato, il grafico del segno della derivata presenta segni opposti (prima + e poi -, o viceversa).
Se in corrispondenza di un punto, la derivata seconda non cambia segno, non dico niente su questo punto.
Trovati punti di flesso nel modo indicato, si tratta di stabilire se sono punti di flesso a tangente orizzontale o a tangente obliqua.
Attenzione: i flessi così trovati non possono essere a tangente verticale! Per questi ultimi abbiamo già visto quello che accade (la derivata prima va all'infinito); tra poco li rivedremo, analizzando i loro "effetti" sulla derivata seconda.