Lo studio delle funzioni (III° parte)

Di Redazione Studenti.

Funzioni, spiegazione dettagliata: dalla procedura alle derivate, dagli asintoti agli esempi

LO STUDIO DI UNA FUNZIONE - Sei in quinto liceo e hai paura della prova di matematica? Devi sapere che, agli esami di maturità, capita quasi sempre uno studio di funzione, magari accompagnato da altre domande a contorno. Lo studio di funzione richiama infatti numerosi argomenti trattati nel corso di tutti e cinque gli anni di scuola (equazioni e disequazioni di tutti i tipi, limiti, derivate, ecc.) e si tratta di una importantissima sezione della matematica. Perciò, se la lezione sulle funzioni non ti è stata molto chiara, ecco per te dei comodi riassunti per non farti trovare impreparato!
Inoltre, cliccando sulla nostra sezione di Matematica, potrai avere ulteriori approfondimenti e lezioni sul programma di terzo, quarto e quinto liceo!


Guarda anche: Approfondimenti, lezioni ed esercizi sul programma di matematica di 5° liceo


c) Asintoti obliqui
Dopo aver accertato la presenza degli asintoti orizzontali, si potrà passare alla ricerca degli asintoti obliqui.
Gli asintoti obliqui sono rette (né orizzontali, né verticali) di equazione y=mx+q, con m0 (altrimenti sarebbe orizzontale...) a cui la funzione tende ad "accostarsi" al crescere dei valori assunti dalla variabile x.


Matematica: spiegazioni ed esercizi del 4° anno



Attenzione!
La ricerca degli asintoti obliqui è subordinata al risultato dei limiti ottenuti al precedente punto b) e, in particolare, è subordinata alla presenza di eventuali asintoti orizzontali.
Questo fatto è dovuto al teorema di unicità del limite.
Consideriamo separatamente i due casi: e .
Se per abbiamo visto che la funzione ha un asintoto orizzontale (y= l 1), allora non ci può essere asintoto obliquo per. Altrimenti, la funzione avrebbe due comportamenti (limiti) diversi in corrispondenza di, in contraddizione con il teorema.
Se, invece, abbiamo ottenuto infinito (con qualsiasi segno) come risultato del precedente limite per, concludendo quindi che non ci sono asintoti orizzontali per, allora possiamo procedere con la ricerca di un eventuale asintoto obliquo per.
Tale ricerca darà esito positivo se e soltanto se si verificano le due seguenti condizioni, che ci consentono di determinare il valore dei parametri, m e q, della retta y=mx+q, che sarà appunto il nostro asintoto obliquo per:
m e m 0

q =q
Trovati m e q, con i calcoli indicati sopra, si conclude che per la funzione ha un asintoto obliquo di equazione y=mx+q.


Approfondisci:
Matematica: funzioni continue e asintoti


Nota
Se m viene oppure 0, mi fermo concludendo che non c'è (neanche) asintoto obliquo per.
Se m viene finito e diverso da zero, ma q viene, concludo dicendo che non c'è (neanche) asintoto obliquo per.
Quindi, le due condizioni si devono verificare contemporaneamente.
Si noti che q può venire uguale a zero: l'asintoto obliquo passerà per l'origine; m non può venire zero perché altrimenti l'asintoto obliquo...sarebbe orizzontale (!).
Nessuno dei due può venire infinito per ovvi motivi (che retta sarebbe?).

Importante
Tutto quello detto finora sull'asintoto obliquo per, si ripete nel caso di.
Si calcolano gli stessi limiti (stavolta per) e si ripetono le stesse considerazioni e conclusioni. Il tutto, naturalmente, dopo che al punto b) si è ottenuto infinito (con qualsiasi segno) nel calcolo del limite per.

Note

E' evidente che possono capitare casi in cui, ad esempio, la funzione ammette asintoto orizzontale per e asintoto obliquo per.
Si è detto che la presenza di asintoto orizzontale "influenza" la presenza di asintoto obliquo: questo è vero limitatamente alla "zona" che sto considerando (o).
Quindi se per ho trovato un asintoto orizzontale, so per certo che in quella stessa "zona" () non ci sarà asintoto obliquo.
Nulla posso dire su quello che accade a, senza fare un apposito calcolo.
Se non trovo asintoto orizzontale (a ad esempio), non è detto che ci debba essere quello obliquo: saranno i limiti del punto c) a stabilirlo.
Se la funzione non ammette neanche l'asintoto obliquo, vuol dire semplicemente che all'infinito la funzione non si "accosta" ad alcuna retta.
Infine, si ricordi che uno (o entrambi) di questi due limiti
potrebbe non esistere: anche in questo caso la funzione, nella "zona" in cui questo accade, non ha né asintoto orizzontale né obliquo (si pensi, al solito, alla funzione f(x)=sen(x)).

Guarda anche le altre spiegazioni sullo studio di una funzione:

- Spiegazione della procedura

- Determinazione del dominio di f(x)

- Studio del segno di f(x)

- Studio della continuità e ricerca degli asintoti:
-
Asintoti verticali (e discontinuità)
- Asintoti orizzontali
- Asintoti obliqui


- Derivata prima; punti di Max e min e i punti di flesso a tg orizzontale

- Derivata seconda; studio del suo segno e ricerca dei punti di flesso

- Disegno del grafico

- Esempi di Studio di Funzioni