Lo studio delle funzioni (II° parte)

Di Redazione Studenti.

Funzioni, spiegazione dettagliata: dalla procedura alle derivate, dagli asintoti agli esempi

LO STUDIO DI UNA FUNZIONE - Sei in quinto liceo e hai paura della prova di matematica? Devi sapere che, agli esami di maturità, capita quasi sempre uno studio di funzione, magari accompagnato da altre domande a contorno. Lo studio di funzione richiama infatti numerosi argomenti trattati nel corso di tutti e cinque gli anni di scuola (equazioni e disequazioni di tutti i tipi, limiti, derivate, ecc.) e si tratta di una importantissima sezione della matematica. Perciò, se la lezione sulle funzioni non ti è stata molto chiara, ecco per te dei comodi riassunti per non farti trovare impreparato!
Inoltre, cliccando sulla nostra sezione di Matematica, potrai avere ulteriori approfondimenti e lezioni sul programma di terzo, quarto e quinto liceo!


Guarda anche: Approfondimenti, lezioni ed esercizi sul programma di matematica di 5° liceo



3) Studio della continuità e ricerca degli asintoti (verticali e/o orizzontali e/o obliqui)

A questo punto, è possibile studiare il comportamento della funzione nei punti "critici" e all'infinito. Talvolta si parla più correttamente di "calcolo dei limiti agli estremi del dominio".


Importante: questo passaggio dipende da quello che si è trovato nel punto 1).
Infatti se la funzione è definita, ad esempio, in un intervallo limitato, non si deve andare a calcolare il limite all'infinito.
Così come, se la funzione è definita su tutto l'asse reale, non si deve andare a calcolare nessun limite in punti interni, ma solo all'infinito.
Ecco perché è fondamentale lo studio al punto 1).
Da questo studio emerge la presenza (eventuale) di asintoti di vario tipo.
Un asintoto non è altro che una retta "tangente all'infinito" (definizione impropria).
Per una descrizione formale degli asintoti (verticali e orizzontali), puoi vedere la sezione sulla teoria dei limiti.
In questa sezione introdurremo anche il concetto di asintoto obliquo.

Si distinguono tre tipi di asintoto: verticale, orizzontale e obliquo.
Possono essere presenti tutti o nessuno dei tre o alcuni di essi. Possono esistere infiniti asintoti verticali; questo non può accadere per quelli orizzontali/obliqui.
Importante: la presenza di asintoti orizzontali "influenza" la presenza di asintoti obliqui (dopo vedremo in che modo). Gli asintoti verticali, invece, sono "indipendenti" dagli altri due tipi.

Approfondisci: Funzioni goniometriche: spiegazioni ed esercizi svolti


Vediamo in che modo si determina la presenza di asintoti e come si scrive l'equazione di tali rette.

a) Asintoti verticali (e discontinuità)
Gli asintoti verticali sono rette del tipo x=x0, dove x0è un punto che "manda all'infinito" la funzione.
Cioè, in corrispondenza di x0, accade che:
Il risultato di questo limite può venire infinito (con qualsiasi segno) sia da destra che da sinistra con lo stesso segno oppure con un segno da una parte e con il segno opposto dall'altra. In tutti i casi, si ha un asintoto verticale (la retta x=x0).
Nota.
Ci sono casi particolari in cui da una parte il limite è finito e dall'altra è infinito, come ad esempio per f(x)=e 1/x. In questo caso, è corretto parlare di "asintoto verticale (x=x0) per x tendente a x0 da destra".

Dal punto di vista operativo, come fare per determinare gli asintoti verticali?

Per prima cosa, dal punto 1) vedo se ci sono punti "critici" (che annullano il denominatore o l'argomento del logaritmo, ecc). Negli esempi si vedrà come "selezionare" questi punti.
Se ci sono, calcolo il limite in corrispondenza di questi punti, altrimenti mi fermo e concludo che non ci sono asintoti verticali, né punti di discontinuità di alcun tipo.
Se il calcolo del limite fornisce come risultato, allora la retta x=x0 è asintoto verticale per la funzione (x0 è il punto in corrispondenza del quale ho calcolato il limite).

Se, invece, il calcolo del limite:
- dà per risultato, sia da destra che da sinistra, un valore finito (chiamiamolo l), allora in x0 c'è un punto di discontinuità eliminabile. [Questo caso è stato trattato nella sezione dedicata alla continuità delle funzioni];
-dà come risultato due valori finiti diversi tra loro per il limite destro e il limite sinistro, allora in x0 c'è un salto (discontinuità di prima specie). [Anche questo caso è stato trattato nella sezione dedicata alla continuità delle funzioni].

Naturalmente, c'è anche la possibilità che il limite non esista [si veda ancora la sezione sulla continuità].

Note
Il calcolo del limite va fatto in corrispondenza di tutti i punti "critici".

E' possibile che si abbiano infiniti asintoti verticali (si pensi alla funzione f(x)=tg(x)). In casi più "normali", è comunque possibile che se ne abbia più di uno.

b) Asintoti orizzontali
La trattazione formale sugli asintoti orizzontali si trova nella sezione dedicata alla teoria dei limiti.
Nell'ambito di uno studio di funzioni, si procede in questo modo.
Se il dominio della funzione è illimitato, si calcolano i limiti all'infinito.
Per essere precisi, se è illimitato sia superiormente che inferiormente, si calcoleranno sia il limite perche il limite per.
Se è illimitato solo superiormente, si calcolerà solo il primo; se è illimitato solo inferiormente, si calcolerà solo il secondo.
Se è limitato, non ha senso calcolare i limiti all'infinito (la funzione non è definita né per valori infinitamente grandi, né per valori infinitamente piccoli): si conclude dicendo che non esistono asintoti orizzontali/obliqui.
Se dal calcolo dei limiti, si ottiene una situazione di questo tipo: e/o
si dirà che la retta y= l 1 è asintoto orizzontale per e/o che la retta y= l 2 è asintoto orizzontale per.
Se questi due limiti danno lo stesso risultato, si dice semplicemente che la retta y= l è asintoto orizzontale (l è il risultato comune di entrambi i limiti), senza specificare nient'altro.
In questo caso, si potrà fare una sola operazione di calcolo di limite: con l'esperienza si capirà quali sono le situazioni in cui non c'è bisogno di dividere i due casi. All'inizio, però, suggerisco di calcolarseli entrambi (sia a +8 che a -8).
Nota.
Come detto, questi due limiti possono dare risultati diversi. Q uesta eventualità non contraddice il teorema di unicità del limite!
Infatti, il limite continua ad essere unico: ce ne è uno (e uno solo) per e uno (e uno solo) per.


Guarda anche le altre spiegazioni sullo studio di una funzione:

- Spiegazione della procedura

- Determinazione del dominio di f(x)

- Studio del segno di f(x)

- Studio della continuità e ricerca degli asintoti:
-
Asintoti verticali (e discontinuità)
- Asintoti orizzontali
- Asintoti obliqui


- Derivata prima; punti di Max e min e i punti di flesso a tg orizzontale

- Derivata seconda; studio del suo segno e ricerca dei punti di flesso

- Disegno del grafico

- Esempi di Studio di Funzioni