Lo studio delle funzioni (X° parte)

Di Redazione Studenti.

Dettagliata spiegazione delle funzioni: dalla procedura alle derivate, dagli asintoti agli esempi

LO STUDIO DI UNA FUNZIONE - Sei in quinto liceo e hai paura della prova di matematica? Devi sapere che, agli esami di maturità, capita quasi sempre uno studio di funzione, magari accompagnato da altre domande a contorno. Lo studio di funzione richiama infatti numerosi argomenti trattati nel corso di tutti e cinque gli anni di scuola (equazioni e disequazioni di tutti i tipi, limiti, derivate, ecc.) e si tratta di una importantissima sezione della matematica. Perciò, se la lezione sulle funzioni non ti è stata molto chiara, ecco per te dei comodi riassunti per non farti trovare impreparato!
Inoltre, cliccando sulla nostra sezione di Matematica, potrai avere ulteriori approfondimenti e lezioni sul programma di terzo, quarto e quinto liceo!


Guarda anche: Approfondimenti, lezioni ed esercizi sul programma di matematica di 3°, 4° e 5° liceo


1° Esempio - 2° Esempio - 3° Esempio - 4° Esempio


3° Esempio
Si studi la funzione:


Il dominio è dato da

Risulta che dominio

Vista la presenza del valore assoluto, può essere utile dividere la funzione in due "pezzi" (sarebbe più corretto dire "leggi"):


Asintoti verticali: non esistono perché non ha punti di infinito

Asintoti orizzontali:

quindi non esistono asintoti orizzontali.

Focus: Matematica: trovare gli asintoti di una funzione



Asintoti obliqui:

Quindi, non c'è asintoto obliquo per x +8.
Ovviamente, non ha senso calcolare il limite per x -8, dal momento che in quella regione la funzione non è definita.

La derivata prima della funzione è:

>0 per la prima legge sempre per x>0


>0 per la seconda legge per



Su tutto il dominio la funzione decresce per e per x>0

Nel punto x= la funzione ha un massimo relativo.
Nel punto x=0 c'è un punto angoloso: infatti, la derivata destra in zero vale 1, mentre quella sinistra in zero vale -1. Il grafico in quel punto ha due tangenti.
Questa è una situazione che si verifica spesso (ma non sempre, attenzione) quando una funzione contiene un valore assoluto nella sua espressione.
Essendo un punto di non derivabilità (diverso da un punto di flesso a tangente verticale), dovremo fare attenzione a riportarlo nel successivo grafico della derivata seconda, per ricordarci che, qualunque cosa possa succedere nello studio del segno della derivata seconda in corrispondenza di questo punto, esso non potrà essere considerato un punto di flesso.
Vi ricordo, infatti, che un punto di flesso è un punto in cui cambia la concavità e, oltre a questo, la tangente "attraversa" il grafico in quel punto: in questo caso, nel punto in questione ci sono due tangenti (!).

La derivata seconda della funzione è data da:


>0 quindi 3x + 4 > 0 per la prima legge
-3x - 4 > 0 per la seconda legge
perchè il denominatore della derivata è sempre positivodominio -

Per la prima legge il segno della derivata seconda è schematizzato da:



Per la seconda legge il segno della derivata seconda è schematizzato da:



Il segno della derivata seconda su tutto il dominio è riassunto nel seguente grafico:

per cui la funzione è concava per -1 0, per x = 0 la funzione non ha un flesso perché in tale punto la funzione non è derivabile.


Possiamo disegnare il grafico:


Guarda anche le altre spiegazioni sullo studio di una funzione:

- Spiegazione della procedura

- Determinazione del dominio di f(x)

- Studio del segno di f(x)

- Studio della continuità e ricerca degli asintoti:
-
Asintoti verticali (e discontinuità)
- Asintoti orizzontali
- Asintoti obliqui


- Derivata prima; punti di Max e min e i punti di flesso a tg orizzontale

- Derivata seconda; studio del suo segno e ricerca dei punti di flesso

- Disegno del grafico

- Esempi di Studio di Funzioni