Lo studio delle funzioni (I° parte)

Di Redazione Studenti.

Funzioni, spiegazione dettagliata: dalla procedura alle derivate, dagli asintoti agli esempi

LO STUDIO DI UNA FUNZIONE - Sei in quinto liceo e hai paura della prova di matematica? Devi sapere che, agli esami di maturità, capita quasi sempre uno studio di funzione, magari accompagnato da altre domande a contorno. Lo studio di funzione richiama infatti numerosi argomenti trattati nel corso di tutti e cinque gli anni di scuola (equazioni e disequazioni di tutti i tipi, limiti, derivate, ecc.) e si tratta di una importantissima sezione della matematica. Perciò, se la lezione sulle funzioni non ti è stata molto chiara, ecco per te dei comodi riassunti per non farti trovare impreparato!
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Guarda anche: Approfondimenti, lezioni ed esercizi sul programma di matematica di 5° liceo


Lo studio di una funzione ha come scopo ultimo quello di pervenire a un grafico della funzione assegnata.
Questo grafico non dovrà essere preciso in senso stretto (quello può riuscire a farlo un computer), ma dovrà avere quelle caratteristiche che lo studio stesso avrà evidenziato.
Per raggiungere questo scopo, si sviluppa un'analisi articolata in più passi.
Alcuni professori li numerano in maniera molto metodica, in modo da permettere agli studenti di poterli ricordare più facilmente. Visto, però, che non tutti seguono lo stesso ordine e non tutti svolgono gli stessi passi, in questa spiegazione verranno evidenziati i passaggi più importanti, seguendo un ordine più o meno condiviso dalla maggior parte dei professori.
Vediamo, per cominciare, uno schema sintetico dei passi da seguire.

Focus: Asintoti in generale: spiegazioni ed esercizi svolti


Data y = f(x) una possibile sequenza da seguire è la seguente:
•  Determinazione del dominiodi f(x)
•  Studio del segnodi f(x)
•  Ricerca degli asintoti (verticali e/o orizzontali e/o obliqui)
•  Calcolo della derivata prima; studio del suo segno e ricerca dei punti di massimo e minimo relativi e dei punti di flesso a tangente orizzontale.
•  Calcolo della derivata seconda; studio del suo segno e ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua.
•  Disegno del grafico sulla base delle informazioni raccolte nei punti precedenti

Lo studio di funzioni è essenzialmente un argomento "pratico", nel senso che si impara facendo.
Ci sono, però, dei casi particolari che è opportuno analizzare con molta attenzione. Per farlo è necessario avere ben chiaro quello che si sta facendo.
Pertanto, è opportuno, prima di passare agli esempi, dare una spiegazione "teorica" dei punti elencati.
A questa spiegazione si consiglia di fare riferimento per avere un quadro generale delle possibili situazioni che si possono presentare o quando si incontrano casi dubbi, fermo restando che il miglior consulente rimane il vostro insegnante.

Spiegazione della procedura

1) Determinazione del dominiodi f(x)
Consente di fissare in corrispondenza di quali valori di x si deve tracciare il grafico.
Questo primo passo richiede di determinare quello che viene anche detto campo di esistenza della funzione, ovvero l'insieme di valori che è possibile assegnare alla x nell'espressione di f(x) affinché le operazioni in esse contenute abbiano senso.
E' di fondamentale importanza questo primo passo, come si vedrà nel successivo punto 3).
Per "avere senso" si intende che non si può fare una divisione per zero, non si può calcolare la radice quadrata di un numero negativo e non si può calcolare il logaritmo di un numero negativo.
Quindi, nel primo passo, vi dovete porre le seguenti domande:
Ci sono denominatori?
Ci sono logaritmi?
Ci sono radici di indice pari? (Non solo le radici quadrate danno problemi...)
Se la risposta a una o più di queste domande è Sì, allora bisogna porre delle condizioni: una condizione per ciascuna operazione "a rischio" di perdita di significato.
Quindi se compaiono due logaritmi, tre denominatori e una radice sesta, si dovranno porre 2+3+1=6 condizioni. Tra poco vedremo quali.

Importante!
Le condizioni si dovranno porre soltanto se nell'argomento del denominatore/radice/logaritmo compare l'incognita (x); se non compare non ci sono problemi e, quindi, non bisogna porre condizioni. Ad esempio: log(3) è un numero reale ben preciso; invece, log(x) rappresenta sempre un numero reale, ma l'operazione ha senso solamente se alla variabile diamo valori strettamente positivi: per cui, se compare log(x) nella nostra funzione, dovremo immediatamente porre x>0.
Vediamo, quindi, di stabilire una regola di comportamento generale nell'ambito di questo primo passo: dominio della funzione.
In questo "schema", indicheremo in maniera generalissima come argomento una qualsiasi espressione contenente l'incognita.

Per ciascun denominatore contenente l'incognita si pone: Denominatore0
Per ciascun logaritmo il cui argomento contiene la x, si pone: argomento>0
Per ciascuna radice di indice pari il cui argomento contiene la x, si pone: argomento=0

Si studiano, quindi, le disequazioni mettendole a sistema: infatti, quello che ci serve è un insieme di valori che soddisfino contemporaneamente tutte le condizioni poste, ovvero un insieme di valori che non faccia perdere significato a nessuna delle operazioni coinvolte nella funzione.
L'insieme di soluzioni che si trova è il nostro dominio (o campo di esistenza).
Nota: qualora si trovasse una radice di indice pari a denominatore oppure come unico argomento di un logaritmo, si può porre in un'unica disequazione: argomento della radice>0.

Nota: la condizione Denominatorea equazione, di qualsiasi tipo e grado. L'unica differenza, ovviamente, sta nel fatto che le soluzioni non saranno nella forma x= a, ma nella forma xa.

2) Studio del segnodi f(x)
Consente di fissare in corrispondenza di quali valori di x il grafico sta al di sopra dell'asse delle ascisse (ovvero, dove la funzione assume valori positivi) e in corrispondenza di quali al di sotto (ovvero, dove la funzione è negativa)
In questo caso si tratta semplicemente di impostare e risolvere la disequazione: f(x) =0.
A seconda dei casi, si potranno avere disequazioni algebriche (intere, frazionarie, irrazionali), esponenziali, logaritmiche, ecc.
Nei casi più complessi, possono anche essere "miste" (è presente sia una parte algebrica che una parte "trascendente").
L'insieme di soluzioni che si trova rappresenta l'intervallo (o gli intervalli) in cui la funzione sta sopra l'asse delle x.
Gli intervalli complementari saranno quelli in cui la funzione sta sotto (è negativa).

Guarda anche le altre spiegazioni sullo studio di una funzione:

- Spiegazione della procedura

- Determinazione del dominio di f(x)

- Studio del segno di f(x)

- Studio della continuità e ricerca degli asintoti:
-
Asintoti verticali (e discontinuità)
- Asintoti orizzontali
- Asintoti obliqui


- Derivata prima; punti di Max e min e i punti di flesso a tg orizzontale

- Derivata seconda; studio del suo segno e ricerca dei punti di flesso

- Disegno del grafico

- Esempi di Studio di Funzioni