Problemi di scelta: appunti

Di Redazione Studenti.

Problemi di scelta in matematica ed economia: appunti e risorse. Ripassa con Studenti.it i problemi di scelta in condizioni di certezza, di incertezza e altro ancora

PROBLEMI DI SCELTA, MATEMATICA - In questo articolo parleremo dei problemi di scelta, cioè di quell'ambito della ricerca operativa che permette di risolvere problemi complessi e prendere decisioni tramite un modello matematico.

Diverse sono le condizioni dei problemi di scelta:

•  Problemi di scelta in condizioni di certezza: ad una sola alternativa
•  Problemi di scelta in condizioni di certezza: a più alternative
•  Problemi di scelta in condizioni di certezza con effetti differiti
•  Problemi di scelta in condizioni di incertezza
•  Soluzione generale del problema: tabella dei risultati
•  Problemi dipendenti da più variabili d'azione
•  Risoluzione dei problemi di programmazione lineare mediante il metodo grafico

Focus: Definizioni, lezioni ed esercizi di matematica del 5° anno delle superiori

PROBLEMI DI SCELTA IN ECONOMIA - Alcuni di essi sono per esempio l'insieme dei problemi economici e di scelta che l'azienda si trova ad affrontare, e la cui risoluzione può essere facilitata da strumenti e regole matematiche che si identificano nella programmazione lineare.

Infatti, un problema importantissimo per i dirigenti è proprio quello della programmazione che, se una volta poteva essere trattato da un punto di vista puramente teorico ed informativo, oggi invece è di vitale importanza pratica, non solo per le grandi, ma anche per le medie e piccole aziende. Oggi, infatti, lo sviluppo tecnologico e l' evoluzione economica e politica provocano in breve tempo notevoli cambiamenti che, se da una parte è difficile prevedere, dall'altra però, sarebbe molto pericoloso non anticipare, o per lo meno tentare di anticipare.
La programmazione matematica è proprio lo strumento aziendale che consente, pur con determinati limiti, di eseguire i nuovi ritmi di produzione e di effettuare gli opportuni adattamenti.
Comunque, perché non si sopravvaluti le reali possibilità di questa tecnica, possiamo ricordare una nota affermazione del Keynes: "Non vi è alcuna base scientifica sulla quale fondare una qualche probabilità non arbitraria; tuttavia la necessità d'agire e di decidere ci costringe a fare del nostro meglio per sorvolare su queste circostanze".
Per esempio, per risolvere un problema della vita aziendale (come la scelta del tipo di trasporto, la scelta delle quantità di un bene da produrre, la determinazione della quantità di fattori produttivi da impiegare, la scelta di quale fra due o più prodotti alternativi convenga impiegare), si può usare un procedimento tipico che si può schematizzare nel seguente modo:

1 ° fase: si traducono in termini quantitativi i dati economici a disposizione;
2 ° fase: si pone un' ipotesi sull' obiettivo da raggiungere;
3 ° fase: si applicano gli strumenti matematici più opportuni;
4 ° fase: si discutono i risultati ottenuti.

In tutti i problemi di decisione economica si deve trovare una grandezza – misuratrice della convenienza – che è condizionata dalle limitazioni delle variabili da cui essa dipende. Tale grandezza, essendo funzione di altre variabili, prende il nome di funzione obiettivo (o funzione oggetto); le variabili che rappresentano le varie alternative prendono il nome di variabili di scelta (o variabili d'azione); le limitazioni a cui devono sottostare si chiamano vincoli.

Una limitazione base del problema è che le variabili d'azione devono assumere valori non negativi (non avendo senso altrimenti). Conseguentemente la rappresentazione grafica si limiterà al primo quadrante.
L' insieme della funzione oggetto e dei vincoli a cui le variabili d'azione devono sottostare formano un insieme di equazioni e disequazioni che costituiscono il modello matematico del problema.
I problemi di impostazione economica si traducono tutti in problemi di scelta.
Il problema di scelta equivale, in genere, a trovare il massimo od il minimo della funzione oggetto.

I problemi di scelta si distinguono in discreti e continui.
Un problema è continuo quando la variabile d'azione x può assumere un valore qualsiasi in un certo intervallo, quindi tale variabile x può assumere un numero infinito di valori e la soluzione, di conseguenza viene scelta tra un numero infinito di possibilità.
Ad esempio, nel caso in cui la x possa variare nell' intervallo compreso tra lo zero e uno, se il problema è continuo la x può assumere un valore qualsiasi (es. 0,54; 0,55556,ecc.); se il problema è discreto vuol dire che la x può assumere solo un numero finito di valori. Esempio tipico in cui la x è sottoposta alla limitazione di assumere valori interi e quindi, nel nostro caso, può assumere solo il valore zero o il valore uno.
Se il problema è continuo si ricorre prevalentemente alla rappresentazione grafica; se il problema è discreto si compilano delle tabelle con i valori della funzione oggetto oppure si usa ancora la rappresentazione grafica. Molto spesso anche se il problema è discreto lo si considera continuo e quindi lo si risolve graficamente con una funzione continua ricordandosi che la discussione deve essere fatta supponendo la x discreta. Il quadro dei problemi che si presentano può essere così sviluppato:

Problemi dipendenti da una sola variabile d'azione in condizioni di certezza con effetti immediati

Una sola alternativa mass. e min.
più alternative

Problemi di scelta in condizioni di certezza
con effetti differiti

investimenti finanziari
investimenti industriali

Problemi di scelta in condizioni di incertezza

effetti immediati
effetti differiti

Problemi dipendenti da più variabili d'azione:
programmazione lineare

massimo profilo
minimo costo


Il tipo di problema economico, la sua formulazione, l' obiettivo da raggiungere e quindi, in una certa misura, anche le tecniche di risoluzione saranno diverse a seconda del tipo di contesto economico che si prende come base. La matematica, così come è proposta, non mette mai in discussione questo, ma assume come data una certa visione della realtà economica presa come assoluta ed oggettiva assumendone fino in fondo la logica.

1. Problemi di scelta in condizioni di certezza: ad una sola alternativa
Data una funzione, ad ogni variabile della x corrisponde una variabile della y che generalmente non è costante (è costante solo se la funzione è una retta). Nel caso in cui si considerano variazioni positive unitarie della x, la corrispondente variazione positiva o negativa della y prende il nome di incremento o decremento marginale. Nei problemi di ricerca del massimo di una funzione si riesce a determinare tale massimo usando l'analisi marginale; precisamente:
  • la funzione raggiunge il massimo in x quando l'incremento marginale della y, nel passaggio da x a x + 1, da positivo diventa per la prima volta negativo;
  • viceversa, la funzione ha il minimo in x quando l'incremento marginale della y, nel passaggio da x a x +1, da negativo diventa per la prima volta positivo.
Nel caso in cui la funzione da considerare è somma o differenza di due funzioni, di cui una ha andamento crescente e l'altra decrescente, o che pur avendo un andamento dello stesso tipo hanno variabilità diversa, si ha il massimo quando l' incremento marginale (o il decremento) di una funzione tende ad eguagliare il decremento marginale (o l' incremento) dell'altra.
Un esempio tipico è quello del problema in cui si debba determinare il massimo guadagno con ricavi decrescenti e costi crescenti. In questo caso converrà produrre fino a che il ricavo marginale è ancora superiore al costo marginale; quando il ricavo marginale diventa per la prima volta minore del costo marginale converrà bloccare la produzione.
2. Problemi di scelta in condizioni di certezza: a più alternative
Nei problemi ad una sola alternativa, lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo. Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo è quello di scegliere l'alternativa più conveniente al variare di x tra vie o procedimenti diversi dipendenti da valutazioni strettamente soggettive, oltre che oggettive o matematiche.
Sono tipici esempi la scelta dell' utilità di un determinato mezzo di trasporto, l' utilità di una determinata tariffa, la necessità di determinati tempi, ecc.
In questi casi la funzione obiettivo dipende ancora da una sola variabile indipendente x, ma è espressa tante volte quante sono le alternative, cioè ad ogni valore della variabile x corrispondono più valori della y, uno per ogni alternativa. Il problema si risolve mediante la rappresentazione grafica.

3. Problemi di scelta in condizioni di certezza con effetti differiti
I problemi di scelta trattati sino ad ora sono stati caratterizzati dal fatto che la funzione obiettivo è stata calcolata senza tener conto dell' epoca in cui venivano prese le varie decisioni e inoltre tutte le decisioni prese le varie decisioni e inoltre tutte le decisioni prese hanno avuto carattere di immediatezza.
E' evidente però che in pratica ciò può anche non verificarsi e pertanto vi sono casi in cui bisogna tenere conto dell' epoca in cui le varie scelte vengono effettuate. Si hanno così problemi di scelta con effetti differiti.
Ora, se le varie scelte vengono effettuate tutte con lo stesso differimento, la risoluzione del problema non presenta alcuna differenza rispetto al caso di scelte immediate.
Per esempio, Tizio ha tre alternative:

•  riscossione di 15000000 fra 6 anni;
•  riscossione di 12000000 fra 6 anni;
•  riscossione di 10000000 fra 6 anni.

E' evidente che a parità di tasso l'alternativa migliore è la prima.
Solitamente però le varie scelte non vengono effettuato a scadenze tutte uguali e pertanto si rende necessario il loro riferimento ad una stessa epoca, che di norma è quella in cui avviene la programmazione del problema. Questo procedimento, che prende il nome di attualizzazione del problema, si applica in regime di capitalizzazione composta introducendo un tasso comune chiamato tasso di valutazione. Questo tasso di valutazione non è determinato in base ad una legge fissa, ma solitamente si deduce sia in relazione alla convenienza soggettiva sulla decisione da prendere, sia in relazione a calcoli statistici fatti su fenomeni che hanno certe analogie con quelli trattati nel problema in considerazione. Il tasso di valutazione influisce notevolmente sulla determinazione della funzione obiettivo. Può verificarsi infatti che, variando il tasso di valutazione, vari anche la scelta dell'alternativa, cioè vari la convenienza.
I problemi tipici di impostazione economica con effetti differiti riguardano essenzialmente gli investimenti finanziari e gli investimenti industriali.
4. Problemi di scelta in condizioni di incertezza
Nei problemi di scelta fra alternative trattati sino ad ora siamo sempre partiti dal presupposto di avere risultati certi perché ottenuti operando su dati pure certi.
Non sempre però questo si verifica. Vi sono infatti numerosi problemi in cui la funzione obiettivo dipende da grandezze aleatorie e quindi le scelte avvengono tra alternative che presentano dati soltanto probabili, cioè in condizioni di incertezza.
Per esempio, in relazione alla scelta da parte di un' industria di tre tipi di circuiti elettronici, bisognerebbe pure tener conto dei probabili guasti che essi possono subire ed anche della loro probabile diversa durata.
Così pure se un' industria di profumi deve determinare il numero dei flaconi da lanciare sul mercato, in riferimento ai vari tipi che può produrre, deve necessariamente fare una previsione su quale tipo di profumo incontrerà maggior gradimento tra i probabili acquirenti.
La risoluzione di un problema in caso di incertezza non presenta tuttavia eccessive difficoltà perché, in fondo, si tratta di operare su delle speranze matematiche invece che su dati certi.
5. Soluzione generale del problema: tabella dei risultati
Solitamente la scelta viene fatta fra un numero limitato di alternative o decisioni, le quali a loro volta sono subordinate al verificarsi di determinati eventi aleatori che portano evidentemente a risultati diversi. Dunque, allo scopo di operare la scelta più favorevole, è opportuna la compilazione di una tabella ove nella prima colonna si pongono i vari eventi, nelle colonne successive i risultati economici relativi alle varie alternative (decisioni) e nell' ultima colonna le probabilità dei rispettivi eventi. Tale tabella viene solitamente indicata come tabella dei risultati.
Compilata tale tabella in corrispondenza ad ogni alternativa, si fa la somma delle speranze matematiche, cioè si determina il valore medio della variabile causale.
La scelta più conveniente viene quindi fatta in corrispondenza a quella alternativa (o decisione), a cui corrisponde il massimo (o minimo) valore delle speranze matematiche.
6. Problemi dipendenti da più variabili d'azione
Fino ad ora abbiamo trattato i problemi in cui la funzione oggetto dipende da una sola variabile d'azione (infatti la variabile y è funzione solo della variabile x).
Consideriamo ora quei problemi, detti problemi, di programmazione, in cui la funzione oggetto dipende da più variabili d'azione, che possono essere soggette a vincoli. Sovente le variabili d'azione e i vincoli sono in numero elevato e in tal caso per risolvere i problemi occorre l'aiuto del calcolatore.
I problemi di programmazione si dividono in due grandi classi:
- programmazione lineare: in tal caso sia la funzione obiettivo sia le relazioni dei vincoli compaiono tutti al primo grado;
- programmazione non lineare: in tal caso la funzione obiettivo e le relazioni dei vincoli compaiono anche con grado superiore al primo.
La maggior parte dei problemi di programmazione si riconducono ad essere lineari. Sono tipici esempi i problemi che riguardano:
•  piani di produzione per ottenere il massimo ricavo o il minimo costo;
•  piani di acquisto o di vendita (per evitare giacenze inutili);
•  piani per l'organizzazione (organizzazione di macchine, organizzazione del personale, organizzazioni di filiali, ecc.);
•  problemi di miscuglio (caso in cui un prodotto può essere ottenuto dalla miscela di diverse sostanze);
•  problemi di trasporto per rifornire i clienti in luoghi diversi.
Definiamo ora in termini rigorosi il problema di programmazione lineare (LP =Linear programming).
Il problema consiste nel determinare il massimo o il minimo della funzione oggetto, che solitamente indichiamo con y, la quale dipende linearmente da un numero n di variabili di azione che indicheremo con x 1, x 2 ... . .
7. Risoluzione dei problemi di programmazione lineare mediante il metodo grafico
Questo metodo viene generalmente usato quando le variabili d'azione sono due, poiché in questo caso è possibile rappresentare il modello matematico sul piano cartesiano. Su di esso si determinerà l'area ammissibile o campo di scelta, che è costituita da tutti i punti del piano che soddisfano alle disequazioni fornite dai vincoli, e che sarà generalmente un poligono convesso; in esso si studierà poi l'andamento della funzione obiettivo (infatti, dovendo rispettare i vincoli a cui sono soggette le variabili d'azione, la funzione obiettivo non può che assumere un valore che appartiene all'area ammissibile), e precisamente si dovrà determinare il valore massimo (o minimo) di tale funzione.
Ricordando che in generale gli eventuali punti di massimo o di minimo appartengono a un vertice della frontiera dell'area ammissibile, per determinarli si dovrà calcolare il valore che la funzione obiettivo assume in ogni vertice e quindi, secondo le esigenze del problema, scegliere il massimo o il minimo.
Da questo punto di vista, quando si risolve un problema di programmazione lineare ci si riconduce da un problema nel campo continuo a un problema nel campo discreto.
Occorre ricordare che, nel caso in cui le variabili d'azione assumono valore intero, anche la soluzione deve corrispondentemente essere espressa da un punto avente coordinate intere; nel caso in cui ciò non si verifichi la soluzione non sarà quella espressa dal vertice, ma andrà cercata in un punto del contorno dell'area ammissibile prossimo al vertice determinato. Capita a volte di trovare due vertici che sono entrambi soluzione del problema.
Questo accade quando il fascio di rette che rappresenta nel piano cartesiano la funzione obiettivo è parallelo alla retta facente parte della frontiera dell'area ammissibile, determinata da un vincolo delle variabili d'azione e che dà origine ai due vertici soluzione. In questo caso le soluzioni del problema sono finite, infatti, tutti i punti facente parte della retta frontiera determinata dai due vertici considerati sono soluzioni del problema.
Si è detto che l'area ammissibile è generalmente costituita da un poligono convesso.
Possono verificarsi casi in cui l'area ammissibile non esiste, oppure esista e non sia limitata.