Numeri reali in matematica

Di Barbara Leone.

Distinzione tra numero reale e numero naturale nella storia della matematica attraverso il pensiero di Karl Weiestrass, Georg Cantor e Julius Wilhelm Richard Dedekind

NUMERI REALI IN MATEMATICA - Una delle idee in voga nella matematica di fine Ottocento era quella di definire il concetto di “numero reale” in termini del concetto, che sembrava più sicuro, di “numero naturale”. Questa idea aveva anche un nome preciso, dato da Karl Weierstrass: artimetizzazione dell’analisi, ovvero: riduzione dell’analisi (nella quale, con funzioni, derivate e integrali abbiamo a che fare con numeri reali) alla sola aritmetica. Non ci si era ancora posti il problema se per caso quei numeri naturali fossero poi “ben posti”, poiché si era certi che così fosse: un altro matematico del tempo, Leopold Kronecker, scriveva nel suo saggio Sulla natura del numero (1881) che “i numeri naturali ci sono dati da Dio, tutto il resto è opera dell’uomo, e crea confusione”, a dire che tutta la matematica doveva poggiare sull’idea di numero naturale, poiché quel concetto era l’unico sicuro, indubitabile, tutto il resto, e in particolare la teoria dei numerali transfiniti di Georg Cantor (della quale il Kronecker fu il principale oppositore), era insicuro, poiché creato dall’uomo, giustificato solo da intelletti umani, e non dalla superiore conoscenza divina delle cose.

Georg Cantor, prima di approdare allo studio degli “infiniti”, aveva indagato sulla natura di numero reale, ed era arrivato ad una caratterizzazione di numero reale per mezzo di successioni che godono della proprietà di essere “di Cauchy”: se una successione gode della proprietà che fissato un certo numero io posso sempre determinare un intero m tale che per ogni coppia di interi n e r, n>m, sia:

allora Cantor dice che questa successione “è un numero reale”. Cantor insiste su questo punto nel suo Sulle molteplicità lineari infinite di punti del 1883: "si deve fare bene attenzione a un punto cruciale, la cui importanza può facilmente fuggire […] il numero b [il numero reale identificato dalla successione con la proprietà descritta] non viene definito come ‘limite’ dei membri "av" di una successione fondamentale. Questo sarebbe un errore logico poiché verrebbe presupposta l’esistenza del limite per "v" tendente all’infinito della successione. Le cose stanno esattamente al contrario, cioè mediante le definizioni date sopra il concetto b è stato pensato come un oggetto avente proprietà e relazioni coi numeri razionali dalle quali si possa dedurre che il limite esiste ed è uguale a b".

In effetti egli definisce le operazioni tra numeri reali come operazioni tra successioni di Cauchy, e con questo evidentemente Cantor tenta di mettersi al riparo da eventuali critiche di carattere “logico” di cui fu bersaglio. In modo simile procedette anche Karl Weierstrass, come ci racconta lo stesso Cantor: egli identificò i numeri reali con le serie numeriche per le quali valesse quello che noi oggi chiamiamo sempre il “criterio di Cauchy”, anche lui da questa definizione dedusse le regole di operazioni tra i numeri reali sfruttando le proprietà delle serie stesse.

A questi due metodi simili, per quanto Cantor in questo scritto si sforzi di sottolineare le differenze tra il suo metodo e quello del Weierstrass, si oppose da subito la definizione di numero reale come “sezione tra classi contigue di insiemi”, definizione ancora oggi usata e diffusa nei libri di testo, che richiese, secondo ammissione dello stesso Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 – 1916), appena una variazione di punto di vista rispetto alla celebre definizione quinta del libro decimo degli Elementi di Euclide sulle grandezze che stanno in proporzione. Cerchiamo di vederci più chiaro.

Intanto il nocciolo del problema per Dedekind non è tanto quello di “definire” cosa sia un numero reale, quanto quello di caratterizzare una proprietà fondamentale dell’insieme dei numeri reali: la sua "continuità", questa è la “proprietà forte” che distingue l’insieme dei numeri reali dagli insiemi dei numeri naturali, razionali, e perfino algebrici. Il pregio dell’opera di Dedekind rispetto a quella di Cantor e Weierstrass è stato quello di spostare l’attenzione dal singolo numero reale alla proprietà della continuità, e dunque di fondare la teoria dei numeri reali sulla base della continuità. Inoltre, altro pregio non da poco, l’impostazione di Dedekind fu fin da subito una impostazione assiomatica, ovvero non si trattava di mostrare come si costruiscono i numeri reali (questo era l’atteggiamento di Cantor e Weierstrass), ma di caratterizzare l’insieme dei numeri reali come insieme di “numeri misteriosi” (enti primitivi) che rispettassero alcune proprietà.

La caratterizzazione di Dedekind è quella che ancora oggi usiamo in Analisi per “definire” i numeri reali, e suona più o meno così: i numeri reali sono un insieme R con le seguenti strutture:
- un ordinamento totale, cioè una relazione ≤ che gode delle proprietà di (a1) dicotomia (per ogni coppia di numeri reali a e b si può sempre dire se a è minore di b o viceversa), (a2) transitiva, (a3) antisimmetrica, (a4) riflessiva (a≤a);
- un’addizione, cioè un’applicazione che ad ogni coppia di numeri reali a e b abbina un numero c=a+b tale per cui valgano le proprietà (b1) commutativa, (b2) associativa, (b3) esistenza dell’elemento neutro (lo 0), (b4) invertibilità (ogni numero reale ha uno ed un solo opposto rispetto all’elemento neutro);
- una moltiplicazione che ad ogni coppia di numeri reali a e b abbina un numero d=ab tale per cui valgano le proprietà: (c1) commutativa, (c2) associativa, (c3) elemento neutro (l’1), (c4) invertibilità (ogni numero reale ammette inverso), (c5) distributiva del prodotto rispetto alla somma.

Queste proprietà da sole non bastano per caratterizzare i numeri reali, occorre una quarta struttura, la continuità, che possiamo caratterizzare per mezzo dell’assioma di Dedekind così: se A e B costituiscono una sezione dell’insieme dei numeri reali R, ovvero sono tali che la loro unione è R e che per ogni a di A e per ogni b di B, a≤b, allora esiste un unico numero reale L (elemento separatore delle due classi A e B) tale che: a≤L≤b, qualunque siano a in A e b in B.

L’assioma (D) suona effettivamente piuttosto ovvio, eppure questa è la caratteristica che ci permette di distinguere un insieme di numeri razionali da un insieme di numeri reali. Inoltre è vero che gli assiomi devono risultare sempre e comunque ovvi, ovvero immediatamente intuitivi. La cosa strana è che l’assioma (D) si può sostituire con un assioma che suona meno evidente, ma che pone lo stesso problema, cioè fa la stessa richiesta: gli assiomi sono anche richieste, cioè noi diciamo ad un insieme X che vuole candidarsi ad essere un insieme di numeri reali che deve, indipendentemente dal suo contenuto, che in questa sede non ci interessa, avere le proprietà (A) – (D). In alternativa a (D) possiamo richiedere (D’): (D’) Che tutte le successioni di Cauchy a termini in R siano convergenti in R.

E questa equivalenza dà ragione a Cantor del suo lavoro, e anche a Weierstrass del suo. Effettivamente non è che Cantor e Weierstrass prima di Dedekind avessero pensato a cose inesatte. Solo che il loro approccio era ormai superato. Dovevano ragionare per assiomi, questo era ciò che mancava alla loro opera, dovevano concentrarsi sulla continuità e non sui numeri stessi.

A questo punto è interessante sentire cosa avrebbe da dire lo stesso Dedekind al riguardo: "Ma in che cosa consiste realmente questa continuità? Tutto è contenuto nella risposta a questo interrogativo, e soltanto con essa si potrà pervenire a fondare scientificamente lo studio di tutti i domini continui. Naturalmente con dei vaghi discorsi su una connessione ininterrotta delle parti più piccole non si arriva da nessuna parte; quel che serve qui è che si riesca a isolare un preciso contrassegno caratteristico della continuità, su cui si possano basare delle deduzioni valide. Ho meditato a lungo senza frutto su questo problema, finché finalmente ho trovato ciò che cercavo. Forse il mio risultato sarà giudicato da persone diverse in diverso modo, ma credo che quasi tutti lo troveranno molto banale. Esso consiste nella considerazione seguente. Nel paragrafo precedente abbiamo ricordato che ogni punto p della retta determina una suddivisione della retta in due parti, in modo tale che ogni punto di una parte giace a sinistra di ogni punto dell’altra. Ora io vedo l’essenza della continuità nell’inversione di questa proprietà, e cioè nel principio seguente:
«Se tutti i punti della retta si ripartiscono in due classi tali che ogni punto di una classe giace a sinistra di ogni punto dell’altra, allora esiste uno e un solo punto che determina questa partizione di tutti i punti in due classi, questa scomposizione della retta in due parti»".

Dedekind è insomma perfettamente consapevole della “banalità” della sua osservazione (anche perché lui stesso aveva dichiarato di averla ottenuta ragionando su quella famosa definizione di Euclide), eppure ribadisce che quello della continuità, e non altro, è il nocciolo di tutta la questione.