Dalla cima di un palazzo di altezza h è lasciata cadere, senza imprimerle alcuna velocità, una pallina di piombo. Contemporaneamente dalla base del palazzo viene lanciata verso l’alto un’altra pallina, con velocità iniziale v0.
Si vuol sapere in quale caso le due palline potranno scontrarsi ad una quota z compresa tra z = 0 e z = h.
Ti è piaciuto questo articolo? Seguici su Facebook!
Diario della maturità
Matematica e fisica
Ingegneria e design
Notizie assurde
Hostess e promoter
Sesso e amore
Tutto matematica
Francesco dice:
22 set 2010 alle 18:43Per z = v(0)^2 / 2g ??
Non capisco che valore vuole sapere… o nel caso che la velocità iniziale sia…?
Francesco dice:
22 set 2010 alle 21:14Scusa.. avevo letto male il problema.
Io ho risolto trovando che le due palline si incontrano per h < v(0)^2 / g
Dario dice:
23 set 2010 alle 11:09Ciao Francesco. Forse so chi sei …
Preferisco attendere …
(vediamo se arriva qualche altra risposta …)
Francesco dice:
24 set 2010 alle 10:12Esattamente.. hai capito =)
Francesco dice:
24 set 2010 alle 10:17La pallina che parte da y=0 con velocità iniziale v0 può raggiungere al massimo un’altezza h1 = v(0)^2/2*g in un tempo t.
Quindi 0 < z < v(0)^2/2*g.
Nello stesso tempo t, la pallina che parte da y = h con velocità iniziale nulla percorrerà uno spazio dato da h2 = v(0)^2/2*g.
Quindi mettendo insieme queste due soluzioni possiamo concludere che le due palline si "scontrano" per h < h1 + h2 e cioè h < v(0)^2/g.
Questa è la mia interpretazione..
Dario dice:
24 set 2010 alle 11:31Mi pare che tu svolga i conti facendo l’ipotesi che lo scontro debba
necessariamente avvenire quando la pallina, che parte dal suolo, ha
raggiunto la suo quota massima. Il che non è. La pallina può benissimo
essere ancora in fase di salita, oppure avere già invertito il moto ed
essere raggiunta dalla pallina partita dalla quota h ….
Vuoi provare a ripensarci?(vedi perché ho scritto che vale la pena di
ragionare anche sui problemi facili?)
Francesco dice:
24 set 2010 alle 13:05Nono.. non ho svolto i conti facendo l’ipotesi che lo scontro debba avvenire quando la pallina ha raggiunto la sua quota massima.
Non ho però considerato che l’impatto può avvenire quando la pallina ha già invertito il suo moto. Infatti per h < v(0)^2/g le due palline si incontrano.. non per forza nella quota massima della pallina che parte dal suolo
Francesco dice:
24 set 2010 alle 13:15Ti espongo il mio ragionamento. (senza considerare che l’impatto possa avvenire quando la pallina ha invertito il suo moto) [1]
La pallina che parte dal suolo ha energia iniziale Em1 = Ec1 = (1/2)*m*v(0)^2.
Quando raggiunge la sua quota massima h1 ha energia finale Em1 = Ep1 = m*g*h1.
Quindi.. considerando ciò che ho detto nella [1] la quota d’impatto z deve essere per forza compresa tra 0 e la quota massima della pallina 1. Possiamo scrivere per ora 0 < z > ricaviamo t
t = v(0)/g
Quindi in un tempo t la pallina 1 percorre uno spazio di v(0)^2/2g.
Vediamo quando spazio percorre la pallina 2 da un’altezza h nello stesso intervallo di tempo.
Chiamo x lo spazio percorso.
x = x(0) + v(0)t + (1/2)*g*t^2 ma x(0) e v(0) valgono zero quindi diventa
x = (1/2)*g*t^2 = v(0)^2/2g.
Osserviamo quindi che lo spazio percorso nell’intervallo T dalla pallina 2 è lo stesso dello spazio percorso dalla pallina 1 nello stesso intervallo.
Consideriamo che h sia la somma di questi due “spazi percorsi”. Quindi h = v(0)^2/2g + v(0)^2/2g = v(0)^2/g.
Questo è il valore massimo che può avere h affinchè le due palline si scontrino.
Ovviamente come ho detto all’inizio, non viene considerata l’inversione di moto.
doraz dice:
29 set 2010 alle 23:26se le palline non sono “allineate”, sarà dura che si scontrano…
e se quella che parte dal basso è di pongo, si scontrano sempre almeno per z=0
detto questo, qualcuno mi toglierà la lode in fisica……
Dario dice:
02 ott 2010 alle 08:23Caro Studente Doraz, l’humor è tutt’altro che bandito dal Blog, però penso che farebbe bene ad inviare al prof (quello che Le ha attribuito la Lode in Fisica) per messaggio diretto, anche la soluzione del problemino.
Infatti non vorrei che quel prof frequentasse il Blog, scoprisse che “doraz” è la parte di un cognome a lui noto, fosse colto da dubbi e ripensamenti e decidesse di passare dalla Segreteria Esami e far presente che c’è stato un errore nella verbalizzazione …
Lo dico nel Suo interesse …
Questi prof sono tipi strani, sa?…
Dario dice:
06 ott 2010 alle 10:26Sono trascorsi alcuni giorni e quindi ora espongo il mio punto di vista.
Ovviamente non mi chiudo di fronte a presentazioni diverse. Anche se vi
fossero dei difetti, l’occuparcene presenta comunque dei vantaggi:
- aiutare qualche Studente a capire meglio;
- rendere più chiara l’esposizione;
- esaminare metodi di risoluzione alternativi;
- scoprire aventuali sviste, mie o di altri (nessuno ne è immune…).
Chiamiamo 1 la pallina che cade dalla quota h e 2 quella che parte da basso.
Le due quote all’istante t sono evidentemente:
z1 = h – (1/2) g t^2 e
z2 = v0 t – (1/2) g t^2
Quindi la differenza di quota, che inizialmente vale z1 – z2 = h,
all’istante t vale
z1 – z2 = h – v0 t.
Questa si annulla, ovviamente, quando le due palline si scontrano.
Ciò avviene, per qualunque valore di v0 (purché rivolta verso l’alto … ),
all’istante t* = h / v0.
Senza necessità di eseguire calcoli, è possibile affermare quindi che,
prima o poi le palline si scontreranno e che ciò avverrà ad una
quota z* = h – [ g h^2 / ( 2 v0^2) ] minore di h.
Resta pertanto solo da stabilire sotto quale condizione l’urto avverrà per
valori positivi di z, cosa non difficile.
Dalla disequazione h – [ g h^2 / ( 2 v0^2) ] > 0 si ottiene infatti subito
con facili passaggi che
v0 > sqrt ( g h / 2 ).
tano dice:
23 nov 2010 alle 20:10i triangoli ABC e A’B'C’ SONO EQUILATERI ED E’ AB E’ CONGRUENTE A’D’.DIMOSTRARE che i due triangoli sono congruenti.
profteodoro dice:
26 nov 2010 alle 10:42Ciao Tano. Non avevo visto la tua domanda, perché consideravo praticamente conclusa la discussione (di Fisica). Se ti occorre una risposta, postala sul Forum di Matematica delle Superiori, dopo averla corretta (compare un vertice D’ inesistente).