Scomporre in fattori il polinomio x^4 + 4
Con questo … esercizietto ho visto qualche Insegnante in difficoltà.
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Matematica e fisica
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Chi sono
Ha svolto attività di Ricerca in Italia ed all'Estero. Ha insegnato Fisica, Analisi Matematica, Didattica della Fisica e altro. Si è occupato di Test d'Ingresso, Corsi di recupero, Esami di Stato, Olimpiadi della Fisica. Questo spazio è curato dal prof. Dario Teodoro. Scrivigli qui
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Axel dice:
12 gen 2011 alle 17:21Interessante ma non ne vengo a capo! Pensavo fosse irriducibile ma poi ho visto la soluzione, spero in un contributo illuminante…
Nicolò dice:
12 gen 2011 alle 17:37Si può scomporre questa somma di due quadrati anche non ricorrendo al campo dei numeri immaginari.
1) x^4 + 4 possiamo scriverlo come (x^2)^2 + 2^2
Aggiungendo e sottraendo il doppio prodotto delle due basi,
viene
2) (x^2)^2 + 2^2 + 2x^2 – 2x^2
Raccogliamo:
3) (x^2 + 2) – 2x^2
E questo è una differenza di quadrati che
è uguale alla somma delle basi per la loro differenza, cioè
4) [x^2 + 2 + (RADQ2)x][x^2 + 2 - (RADQ2)x]
Naturalmente questa scomposizione potrebbe andar avanti per procedimenti simili ed è possibile se aggiungendo e sottraendo il doppio prodotto, quest’ultimo è un quadrato. Ovviamente anche 2 è il quadrato di RADQ2.
Nicolò dice:
12 gen 2011 alle 17:42Ragionandoci mi è tornato qualcosa in mente!
Questo procedimento dovrebbe essere valido solo se il prodotto delle basi è maggiore od uguale a zero..no?
Nicolò dice:
12 gen 2011 alle 17:48Ciao a tutti, scusate il non doppio, ma …triplo post!
Torno da scuola e perciò sono ancora un po’ preso da quadrati che tagliati diventano triangoli equilateri e roba simile
Ritiro quel che ho detto visto che in questo caso il prodotto delle basi è sempre positivo: x^2 * 2 = 2x^2
Scusate ancora per il triplo post
Dario dice:
13 gen 2011 alle 12:33( Sei scusato ) * 2. Anche per via dell’ottima risposta.
Axel, la spiegazione ti ha convinto? Sei in grado di proporlo ad altri?
Prima o poi arriveranno altre fattorizzazioni.
A presto.
Axel dice:
14 gen 2011 alle 19:21No, mi dispiace ma la spiegazione non mi convince.
Il risultato al punto 4) è [x^2 + 2 + sqrt(2) * x] [x^2 + 2 - sqrt(2) * x] che è diverso da x^4 + 4. Non capisco!!
Dario dice:
15 gen 2011 alle 20:09Ciao Axel. Hai ragione di non capire. La fattorizzazione è la seguente.
x^4 + 4 = (x^2 + 2 + 2 x)*(x^2 + 2 – 2 x)
Ci si arriva facilmente aggiungendo e togliendo 4 x^2 a x^4 + 4.
Quando ho visto Nicolò che aggiungeva e toglieva … ho immaginato che sapesse cosa doveva fare. E resto convinto che Nicolò lo sapesse benissimo, ma l’ha fatto scrivendo 2 invece di 4.
Il tuo contributo è stato importante. Grazie.
Nicolò dice:
15 gen 2011 alle 20:56Ciao Dario ed Alex,
Chiedo venia per la mia distrazione, benedetta fretta!
PS: Dario ho inviato l’email
Axel dice:
15 gen 2011 alle 21:06Grazie a voi, ora mi è tutto più chiaro.
Alessandro dice:
18 gen 2011 alle 19:29Ciao a tutti,
.
questo è uno dei problemi più simpatici e costruttivi che ci siano. Quando lo risolsi anni fa avevo alla base un pò di matematica che mi permise la facile risoluzione. In primis ogni polinomio di grado maggiore di due è riducibile nei reali, per cui un polinomio di grado 4 si potrà scrivere o come prodotto di 4 polinomi di primo grado (nel caso avessimo 4 radici reali) o come prodotto 2 polinomi di primo grado e uno di secondo grado oppure come 2 polinomi di secondo grado.
Poi, per risolvere l’esercizio, passai nel campo complesso dove ogni polinomio di grado maggiore di 1 è riducibile e trovai la forma desiderata nel campo dei reali.
Chiaramente la risoluzione è più complicata, ma ci si diverte un pò
Un saluto a tutti, in particolare a Dario!
Dario dice:
19 gen 2011 alle 14:16Ciao Alessandro. Stavo per dire “e tu, amico, da dove esci? …”. Ma poi ti ho riconosciuto, per la bravura e per la sensibilità riguardo al problema della riducibilità dei polinomi di grado superiore al secondo. I tuoi interventi sono sempre apprezzati. Anche qualche bella domandina per il Blog, se l’hai.
Cordiali saluti anche a te!