La parabola, teoria e formule di geometria analitica

La parabola: approfondimento su uno degli argomenti più importanti di geometria analitica. Spiegazioni con grafici, formule ed esempi

di Redazione Studenti 11 giugno 2015

LA PARABOLA - Sei al terzo anno di scuola superiore e ti stai per accingere a studiare la parabola? Se la geometria analitica e la matematica non fanno per te e hai bisogno di un aiuto per comprendere meglio queste materie, ecco per te un comodo schema in cui troverai tutte le informazioni e le dritte che ti servono sulla parabola geometrica!
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LA PARABOLA

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco). La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola.
L'asse della parabola è un asse di simmetria e interseca la parabola nel vertice.
Una parabola con asse parallelo all'asse y è rappresentata da un'equazione del tipo:
y = x2 + bx + c
con a0.
Nel grafico seguente è rappresentata una parabola generica (con asse parallelo all'asse y), e sono evidenziate le sue caratteristiche fondamentali (si veda la tabella riportata poco più sotto).

Concavità e "apertura" della parabola dipendono dal parametro a.

.

ELEMENTI CARATTERISTICI



CASISTICA


Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse x

E' del tipo:
x = ay2 + by + c
con a0.


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Determinazione dell'equazione della parabola
Anche nell'equazione della parabola (come in quella della circonferenza) sono presenti tre coefficienti a, b e c.
Per poterli determinare occorrono in genere tre condizioni.
Alcune possibili condizioni sono le seguenti:
•  sono note le coordinate del vertice e del fuoco;
•  sono note le coordinate del vertice (o del fuoco) e l'equazione della direttrice;
•  la parabola passa per tre punti non allineati;
•  la parabola passa per due punti e si conosce l'equazione dell'asse;
•  la parabola passa per un punto e sono note le coordinate del vertice (o del fuoco);
•  la parabola passa per un punto e sono note le coordinate dell'asse e della direttrice.

Vediamo un esempio:
Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha vertice in V(1,2) e passa
per il punto A(2,1).

Si considera l'equazione generale di una parabola con asse parallelo all'asse y:
y = x2 + bx + c

Si impongono le condizioni date. Si noti che la conoscenza delle coordinate del vertice equivale a due condizioni.

da questo si ricava

sostituendo il valore di b nelle altre due equazioni, si ha:

da cui, infine:

Si noti che l'equazione di secondo grado in a, fornisce anche la soluzione a = 0: questa però non è accettabile, dal momento che l'equazione generale di una parabola non rappresenta una parabola se a = 0.
Pertanto, la parabola cercata ha equazione: y = - x2 + 2x + 1

Approfondisci anche gli altri argomenti di Geometria Analitica:
- Geometria Analitica: Generalità introduttive

- RETTA

Le coniche:
- CIRCONFERENZA

- IPERBOLE
-
ELLISSE
- PARABOLA: Casistica - Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse x

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